中考数学辅导之—解直角三角形Ⅳ
从本期开始,我们将学习初三几何第六章解直角三角形.它是继直角三角形中的三边之间的关系,即勾股定理、直角三角形两锐角间的关系、直角三角形两锐角互余后,又一关于直角三角形的知识.本章是三角学的起始部分,对很好的解直角三角形有极大用处.
一、本次知识要点及说明的问题
1.锐角三角函数是关于直角三角形两直角边及斜边和直角三角形的一个锐角间的关系,设
是直角三角形的一个锐角
 |
则围绕三边有六个比值,即①
;②
;③
;④
;⑤
;⑥
.而①②③④这四个线段的比就是初三所学习的正弦、斜弦、正切、余切函数,这四个函数是角的变化而变化,而与边长无关.如,设=30°,无论它的对边和斜边多长
.
2.三角函数定义:
我们规定
①
叫∠A的正弦.记作
②
叫∠A的余弦.记作
③
叫∠A的正切.记作
④
叫∠A的余切.记作
这四个三角函数定义是人们规定的,不能问为什么这样规定?这四个函数定义是本章重点中的重点,要达到①在直角三角形中,给我们一个锐角,我们知道这个角的正弦,余弦,正切,余切是哪两条线段的比.反之②在直角三角形中给我们两条线段的比,我们知道是哪个锐角的什么函数.
如图
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因为CD是∠BDC的邻边,BD是斜边,
是∠BDC的邻边比斜边,所以是∠BDC的余弦.
3.特殊角的三角函数值
①∠A=30°
此时,设
则
 |
②∠A=45°
此时,
则
 |
③∠A=60°
此时设
则
| 角度 函数值 | 30° | 45° | 60° |
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| 1 |
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| 1 |
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4.互为余角的函数关系式:
90°-∠A与∠A是互为余角.
有
通过这四个关系式,可以将正,余弦互化,正切与余切互化.
如
5.四个三角函数性质
当∠A从30°增长到45°,再增长到60°,它的正弦值从
增到
,再增到
.说明正弦值随着∠A的增大而增大.即两个锐角,大角的正弦大,反之两个锐角的正弦值比较,正弦值越大,角越大.如
.
同理正切函数也具有相同的性质,如tg53°>tg40°,再比如比较tg40°和ctg40°的大小,将ctg40°化成tg50°.∵tg40°<tg50°,∴tg40°<ctg40°.已知
,则一定有
的结论.再如
解: 
而余弦,余切则是函数值随着角度的增大而减小,即角越大,余弦(切)值越小,反之余弦(切)值越大,它的角越小.
如cos40°>cos50° ctg20°>ctg50°
若
比较两个函数值的大小,通常化成同名函数,再根据性质比较大小.
例1:已知
解:
比如
.
再如
所以
例2:已知
解:
(在的取值范围内任取2个角验证即可)
例3.如已知
的取值范围.
解:
说明
上述四个函数的性质掌握起来较难,要想法弄懂,多思,多练.
6.同角间的三角函数恒等式
①平方关系 
②倒数关系 
③比的关系 
在这四个关系中,①②用的最多.
7.正余弦值的取值范围 
二、本次练习
(一)判断题
1.
.( )
2.在RtΔABC中,∠C=90°,a,b,c分别∠A,∠B,∠C的对边则
.( )
3.已知
是锐角,若
.( )
4.直角三角形ABC中,各边都扩大2倍,则正弦值也扩大2倍.( )
5.若是锐角,
.( )
6.当
( )
(二)填空题
1.若
=______.
2.是直角三角形的一个锐角,如果方程
有两个相等实根,则
=______.
3.若
的结果是______.
4.如果
=______度.
5.在RtΔABC中,两直角边分别是
,则最大锐角的余弦值是______.
6.计算
的值是______.
7.已知
,则
的值是______.
8.若
=______度.
9.在RtΔABC中,∠C=90°,
= ______.
10.是锐角,且
,则
=______.
11.在RtΔABC中,∠C=Rt∠,则
=______,
是∠A的______函数.
12.若是锐角,且
,则的取值范围是______.
13.化简
的结果是______.
14.已知等腰三角形的两边分别是10,14.则底角的余弦值是______.
15.已知
是锐角,则m的取值范围是______.
(三)选择填空:
1.若
的大小关系是:
A.
B.
C.
D.大小不确定
2.在RtΔABC中,∠C=90°,
等于:
A.
B.
C.
D.
3.已知
的关系是:
A. m=n B. m=2n+1 C. m2=2n+1 D. m2=-2n+1
4.下列不等式正确的是:
A.
B.
C.
D.
5.在RtΔABC中,∠C=90°,a,b,c是∠A,∠B,∠C的对边.下列关系错误的是:
A.
B.
C.
D.
6.使式子
有意义的条件是:
A.
B.
C.
D.
(四)计算下列各式:
1.
2.
3.
4.
三、本期答案
(一)判断题:
1.√ 2.× 3.√ 4.× 5.√ 6.√
(二)填空题:
1. 2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.30° 9.
10.75° 11.
余弦
12.
13.
1 14.
15.
(三)选择题
1.B 2.A 3.C 4.D 5.A 6.C
(四)计算题
1.
2.
3.
4.