中考数学辅导之—数与式
从本周开始，我们将要进行全面的复习.
复习的基本目的,是能掌握基础知识(基本概念和运算),有一定的分析问题和解决问题的能力,有较强的运算能力并需掌握一定的技巧,本着这一目的,今后的复习将说明教材中大多数知识的基础上,每次配一份练习.
本次所要复习的是数与式.
一、基础知识及教材说明:
1.有理数
整数和分数统称有理数.
2.相反数
只有符号不同的两个数,如5和-5,若有一个代数式,我们表示它的相反数,只需在它的前面加“-”即可,如a的相反数是-a,a-2的相反数是-(a-2)=2-a……
3.数轴:
规定了原点,方向和单位长度的直线,但要注意数轴上的点和有理数不是 “一一对应”,数轴上的点和实数“一一对应”,即给定一个实数,我们可以在数轴上找到表示这个实数的点,而数轴上的点表示一个实数.
4.倒数:
若两个数的乘积是1,这两个数是互为例数.(注意零没有倒数)
5.绝对值:
这个概念是极重要的,也是同学们很难掌握的,它的几何意义是 “在数轴上,表示一个数的点,它离开原点的距离”,具体在求一个数或一个代数式的绝对值时,应遵循“正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零”,即要化简绝对值,要分析绝对值号中的数(代数式)表示什么数,如a-2(a<2)因为a<2号中,绝对值号中的a-2是负数,所以a-2(a<2)=-(a-2)=2-a.
6.有理数的加减,乘,除法则
①加法:两数相加,若同号,取原来的符号,并把绝对值相加;异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,如
.
②减法:减去一个数等于加上这个数的相反数.
③乘法:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.
④除法:除以一个数等于乘以这个数的倒数.
7.幂的运算法则:
8.整式的加减,乘,除:
①同类项,含有字母相同,并且相同的字母的指数也相同,如
.
②整式的加减,将系数相加减,字母及指数不变.如
.
③整式乘法
(1)单项式乘单项式,如
=
(2)多项式×单项式;利用乘法的分配律,m(a+b)=ma+mab.如
(3)多项式×多项式(m+n)(a+b)ma+mb+na+nb
④乘法公式
(1)平方差(a+b)(ab)=a2-b2.此公式的特点是两项乘两项,两个括号中各有一项相同,一项互为相反,结果是相同那一项的平方减去相反那一项的平方.如:(2a+b)(-b+2a)=(2a)2-b2=4a2-b2,
再如
(2)完全平方公式
结果是三项.第一项和第三项分别是括号内两项的平方式(都是正的).中间一项是两项乘积的2倍.(符号:若两项同号为正,两项异号为负)如:(m-2n)2=m2-4mn+4n2.
(-m+2n)2=m2-4mn+4n2, (m+2n)2=m2+4mn+4n2, (-m-2n)2=m2+4mn+4n2.
(3)立方和(差)公式
9.因式分解:将一个多项式化成n个因式乘积的形式.
方法①提取公因式地:公因式是各项的系数的最大公约数及相同字母中指数最小的.如
②公式法:将乘法公式反过来用.如
9m2-12mn+4n2=(3m-2n)2 
③分组分解法:注意分组的原则是有利于因式分解.如
再如
=
④十字相乘法:略
⑤公式法:
,
的根.
因式分解的结果一定要使每个因式都是质式即不能再分解为止.
10.分式:
①性质
②分式的值为零的条件:分子为零,同时分母不为零.
③有意义的条件:分母不为零.
④加法:
⑤乘法:
⑥除法:
⑦乘方:
11.数的开平方
①定义:若
,
的平方根,记作
.
②性质:一个正数
有两个平方根,
;负数没有平方根;零的平方根 是零.
③算术平方根:一个正数的正的平方根
.
12.二次根式:
①定义:
叫二次根式.
②性质:
③同类二次根式被开方数相同的二次根式.
④最简二次根式满足(1)根号内无分母(2)根号内再也没有能开得尽方的因
式
⑤二次根式的加减法:合并同类二次根式.
⑥二次根式乘法:
⑦二次根式除法:
⑧分母有理化:分母,分子同乘以分母的有理化因式.
二、练习题:
1.判断题:
⑴整数和小数统称有理数( )
⑵平方根等于它自己的数是1或0( )
⑶
是3的平方根( )
⑷
( )
⑸
成立的条件是
( )
⑹若
( )
⑺
的平方根是±2( )
⑻将0.用科学记数法表示成3.57×10-5( )
⑼
是同类二次根式( )
⑽如果分式
的值为零,那么
( )
⑾若
互为相反数,
互为倒数,
的绝对值是2,那么
的值是( )
⑿
的有理化因式是
( )
2.填空题:
(1)
的倒数的相反数是_____;
的倒数是_____.
(2)
的算术平方根是_____;
=_____.
(3)若
;若
化简的结果是_____.
(4)
= _____;
=_____;
_____.
(5)当
_____时,
是完全平方式.
(6)
= _____.
(7)分式
无意义而分式
有意义的条件是_____.
(8)计算
的结果是_____.
(9)分解因式
的结果是_____.
(10)分解因式
的结果是_____.
(11)若
的整数部分是,小数部分是
,则代数式
的值是_____.
(12)当
的结果是_____.
(13)若
的值是_____.
(14)已知
,
,则
=_____.
(15)已知
的值是_____.
(16)若
的值是_____.
(17)若一个正偶数的算术平方根是,那么和这个正偶数相邻的下一个正偶数的平方根是_____.
(18)
(19)将
根号外面的因式移到根号内的结果是_____.
(20)若
,则
的值是_____.
(21)计算
的结果是_____.
3.化简,计算:
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸当
⑹先化简后求值:
⑺当
的值
⑻已知
的值
⑼当
⑽化简,求值
三、练习答案:
1.判断题:
⑴× ⑵× ⑶√ ⑷× ⑸× ⑹×
⑺× ⑻√ ⑼√ ⑽× ⑾√ ⑿√
2.填空题:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)0或1
(6)
(7)
(8)
9)
(10)
(11)
(12)3 (13)
(14)0.1402 (15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)1999
3.化简,计算:
⑴
⑵
⑶
⑷10 ⑸
⑹
⑺∵
∴原式=
⑻
⑼-1 ⑽