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中考数学压轴题汇编（1）

1、（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：

（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝时，这种变换满足上述两个要求；

（2）若按关系式y=a(x－h)²＋k　(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）

【解】（1）当P=时，y=x＋,即y=。

∴y随着x的增大而增大，即P=时，满足条件（Ⅱ）……3分

又当x=20时，y==100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=时，这种变换满足要求；……6分

（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。

如取h=20,y=,……8分

∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分

令x=20,y=60，得k=60　　　　　　　　 ①

令x=100,y=100，得a×80²＋k=100　　　　 ②

由①②解得，　　∴。………14分

2、（常州）已知与是反比例函数图象上的两个点．

（1）求的值；

（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由，得，因此．···························· 2分

（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．

由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．

当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，

故不符题意．················································································································ 3分

当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，

过点分别作轴，轴的平行线，交于点．

由于，设，则，，

由点，得点．

因此，

解之得（舍去），因此点．

此时，与的长度不等，故四边形是梯形．······························· 5分

如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．

由于，因此，从而．作轴，为垂足，

则，设，则，

由点，得点，

因此．

解之得（舍去），因此点．

此时，与的长度不相等，故四边形是梯形．··································· 7分

如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，

同理可得，点，四边形是梯形．··················································· 9分

综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或．···················································································· 10分

3、（福建龙岩）如图，抛物线经过的三个顶点，已知轴，点在轴上，点在轴上，且．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点坐标；不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴………2分

（2）　　　…………5分

把点坐标代入中，解得………6分

…………………………………………7分

（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．

设抛物线对称轴与轴交于，与交于．

过点作轴于，易得，，，

①　　以为腰且顶角为角的有1个：．

······································································ 8分

在中，

································································································· 9分

②以为腰且顶角为角的有1个：．

在中，···· 10分

····························································································· 11分

③以为底，顶角为角的有1个，即．

画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．

过点作垂直轴，垂足为，显然．

．

　　于是······························································ 13分

······································································································· 14分

注：第（3）小题中，只写出点的坐标，无任何说明者不得分．

4、（福州）如图12，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为．

（1）求的值；

（2）若双曲线上一点的纵坐标为8，求的面积；

（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点（点在第一象限），若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．

解：(1)∵点A横坐标为4 ,　∴当 = 4时， = 2 .

∴ 点A的坐标为（ 4，2 ）.　　　　　　　　　　　　　　　　

∵ 点A是直线　　　与双曲线　　（k>0）的交点 ,

∴ k = 4 ×2 = 8 .　　　　　　　　

(2) 解法一：如图12-1，

∵ 点C在双曲线上，当 = 8时， = 1

∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) .　　　　　　　　　　　　　　　

过点A、C分别做轴、轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON .

S_矩形ONDM= 32 ， S_△ONC= 4 ， S_△CDA = 9， S_△OAM = 4 .　　　　　　　

S_△AOC= S_矩形ONDM - S_△ONC - S_△CDA - S_△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .　　　

解法二：如图12-2，

过点　C、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，

∵ 点C在双曲线上，当 = 8时， = 1 .

∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ).　　　　　

∵ 点C、A都在双曲线上 ,

∴ S_△COE = S_△AOF= 4_。

∴ S_△COE+ S_梯形CEFA= S_△COA+ S_{△AOF .}

∴ S_△COA= S_{梯形CEFA　.}

∵ S_梯形CEFA= ×（2+8）×3 = 15 ,　

∴ S_△COA = 15 .　　　　　　　　　　

（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,

∴ OP=OQ，OA=OB .

∴ 四边形APBQ是平行四边形 .

∴ S_△POA=　S_{平行四边形APBQ}=　 ×24 = 6　.

设点P的横坐标为（ > 0且）,

得P ( , 　) .

过点P、A分别做轴的垂线，垂足为E、F，

∵ 点P、A在双曲线上，∴S_△POE= S_△AOF= 4 .

若0＜＜4，如图12-3，

∵ S_△POE+ S_梯形PEFA= S_△_POA+ S_△AOF,

∴ S_梯形PEFA = S_△POA= 6 .

∴ .

解得= 2，= - 8(舍去) .

∴ P（2，4）.　　　　　　　　　　

若＞ 4，如图12-4，

∵ S_△AOF+ S_梯形AFEP= S_△AOP+ S_△POE,

∴ S_梯形PEFA = S_△POA= 6 .

∴，

解得 = 8， = - 2 (舍去) .

∴ P（8，1）.

∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.

5、（甘肃陇南）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于点C，点P是它的

顶点，点A的横坐标是3，点B的横坐标是1．

(1)求、的值；

(2）求直线PC的解析式；

(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线

PC的位置关系，并说明理由．(参考数：，，)

解： (1)由已知条件可知：抛物线经过A(-3，0)、B(1，0)两点．

∴ 　　　　　　……………………………………2分

解得．　　　　　　　　 ………………………3分

　(2) ∵，　∴ P(-1，-2)，C．　　　…………………4分

设直线PC的解析式是，则　解得．

∴ 直线PC的解析式是．　　　 …………………………6分

说明：只要求对，不写最后一步，不扣分．

　 (3) 如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．

设直线PC与轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)． ………………………7分

在Rt△OCD中，∵ OC=，，

∴ ．　 …………8分

∵ OA=3，，∴AD=6．　…………9分

∵ ∠COD=∠AED=90^o，∠CDO公用，

∴ △COD∽△AED．　　　 ……………10分

∴ ，即． ∴ ．　　　 …………………11分

∵ ，

∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离．　　　…………12分

6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形．

（1）求这个扇形的面积（结果保留）．（3分）

（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分）

（3）当的半径为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）

解：（1）连接，由勾股定理求得：

·································································· 1分

································································· 2分

（2）连接并延长，与弧和交于，

····························································································· 1分

弧的长：······················································································ 2分

圆锥的底面直径为：··················································································· 3分

，不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．·············· 4分

（3）由勾股定理求得：

弧的长：···················································································· 1分

圆锥的底面直径为：················································································ 2分

且

···································································································· 3分

即无论半径为何值，··················································································· 4分

不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．

7、（河南）如图，对称轴为直线x＝的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？

②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设秒后，直线PQ交OB于点D.

（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；

（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；

（3）当时，求t的值及此时直线PQ的解析式；

（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与不相似？请给出你的结论，并加以证明.

9、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．