中考数学压轴题汇编（3）
10、（嘉兴）如图，已知A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向（→O→A→B→O→）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．
（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；
（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标；
（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标．
 |
11、（湖北武汉）如图①，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A(－1，0)、B(0，2)，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点C。
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图②，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作⊙O’，连结AE，在⊙O’上另有一点F，且AF＝AE，AF交BC于点G，连结BF。下列结论：①BE＋BF的值不变；②
，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。
 | |||
 | |||
 | |||
 | |||
12、（广东梅州）如图12，直角梯形
中，
，动点
从点
出发，沿
方向移动，动点
从点出发，在
边上移动．设点移动的路程为
，点移动的路程为
，线段
平分梯形的周长．
（1）求与的函数关系式，并求出
的取值范围；
（2）当
时，求的值；
（3）当不在
边上时，线段能否平分梯形的面积？若能，求出此时的值；若不能，说明理由．
解：（1）过
作
于
，则
，可得
，
所以梯形的周长为18．·············································································· 1分
平分的周长，所以
，····························································· 2分
因为
，所以
，
所求关系式为：
．·············· 3分
（2）依题意，只能在边上，
．
，
因为，所以
，所以
，得··························· 4分
，即
，
解方程组
得
．··················································· 6分
（3）梯形的面积为18．············································································· 7分
当不在边上，则
，
（
）当
时，在
边上，
．
如果线段能平分梯形的面积，则有
········································· 8分
可得：
解得
（
舍去）．·········································· 9分
（
）当
时，点在
边上，此时
．
如果线段能平分梯形的面积，则有
，
可得
此方程组无解．
所以当
时，线段能平分梯形的面积．········································· 11分
13、（湖北仙桃）如图①，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，OA=5，OC=4.
（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标；
（2）如图②，若AE上有一动点P（不与A、E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为
秒
，过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与时间之间的函数关系式；当取何值时，S有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐标.
 |
解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在
中，
∴
∴
∴点坐标为
………………………………………………………（2分）
在
中，
又∵
∴
解得：
∴
点坐标为
………………………………………………………（3分）
（2）如图①∵
∥
∴
∴
又知
∴
又∵
而显然四边形
为矩形
∴
…………………（5分）∴
又∵
∴当
时，
有最大值
（面积单位）…………………（6分）
（3）（i）若
（如图①）
在
中，，
∴为
的中点
又∵∥ ， ∴
为
的中点
∴
∴
∴
又∵与
是关于对称的两点
∴
，
∴当时（），
为等腰三角形
此时点坐标为
………………………………………………（9分）
（ii）若
（如图②）
在
中，
∵∥ ，∴，∴
∴
∴
同理可知：
， 
∴当
时（
），此时点坐标为
综合（i）、（ii）可知：或时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，相应M点的坐标为
或………………………………………（12分）
| | ||||
| | ||||
14、（山东济宁）如图，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。OA、OB的长分别是方程x2－14x＋48＝0的两根(OA＞OB)，直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。
(1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2，求S1∶S2的值；
(2)求直线BC的解析式；
(3)设PA－PO＝m，P点的移动时间为t。
①当0＜t≤
时，试求出m的取值范围；
②当t＞时，你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)？
15、（山东临沂）如图①，已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
16、（广东深圳）如图7，在平面直角坐标系中，抛物线
与直线
相交于
两点．
（1）求线段的长．
（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？
（3）如图8，线段的垂直平分线分别交轴、轴于
两点，垂足为点，分别求出
的长，并验证等式
是否成立．
（4）如图9，在
中，
，
，垂足为，设
，
，
．
，试说明：
．
（1） ∴A（-4，-2），B（6，3）
分别过A、B两点作
轴，
轴，垂足分别为E、F
∴AB=OA+OB
（2）设扇形的半径为，则弧长为
，扇形的面积为
则
∵
∴当
时，函数有最大值
（3）过点A作AE⊥轴，垂足为点E
∵CD垂直平分AB，点M为垂足
∴
∵
∴△AEO∽△CMO
∴
∴
∴
同理可得
∴
∴
∴
（4）等式
成立．理由如下：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
17、（芜湖）已知圆P的圆心在反比例函数
图象上，并与x轴相交于A、B两点． 且始终与y轴相切于定点C(0，1)．
(1) 求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;
(2) 若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形．
解：(1)连结PC、PA、PB，过P点作PH⊥x轴，垂足为H． …………………1分
∵⊙P与轴相切于点C (0，1)，
∴PC⊥轴．
∵P点在反比例函数的图象上，
∴P点坐标为（k，1）． …………………2分
∴PA=PC=k．
在Rt△APH中，AH=
=
，
∴OA=OH—AH=k－．
∴A（k－，0）．
……………………………………………………………………3分
∵由⊙P交x轴于A、B两点，且PH⊥AB，由垂径定理可知， PH垂直平分AB．
∴OB=OA+2AH=
k－+2=k+，
∴B(k+，0)． ……………………………………………………………………4分
故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k．
可设该抛物线解析式为y=a
+h． …………………………………………………5分
又抛物线过C(0，1)， B(k+，0)， 得：
解得a=1，h=1－
．
…………………7分
∴抛物线解析式为y=+1－．……8分
（2）由(1)知抛物线顶点D坐标为（k， 1－）
∴DH=－1．
若四边形ADBP为菱形．则必有PH=DH ．………………………………………………10分
∵PH=1，∴－1=1．
又∵k＞1，∴k=
…………………………………………………………11分
∴当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形． …………………12分
[注：对于以上各大题的不同解法，解答正确可参照评分！]
18、（永州）23．AB是⊙O的直径，D是⊙O上一动点，延长AD到C使CD＝AD，连结BC、BD。
(1)证明：当D点与A点不重合时，总有AB＝BC。
(2)设⊙O的半径为2，AD＝x，BD＝y，用含x的式子表示y。
(3)BC与⊙O是否有可能相切?若不可能相切，则说明理由；若能相切，则指出x为何值时相切。
