一.教学内容：
圆中计算问题中考题选讲
二. 教学重点：
1. 求阴影部分的面积。
2. 解决实际问题。
【典型例题】
一、阴影部分面积求解的几种方法：
例1. 如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求图中阴影部分的面积。
分析：图中阴影部分可看作弓形BC面积与三角形ABC面积的和，而△ABC不是Rt△，所以考虑借助OA∥BC将△ABC移形，连接OC、OB，则S△OCB＝S△ACB。
则阴影部分面积为扇形AOB面积。
解：连接OB、OC，因为BC∥OA
所以△ABC与△OBC在BC上的高相等
所以
所以
又∵AB是⊙O的切线
所以OB⊥AB，而OB＝2，OA＝4
所以∠AOB＝60°，
由BC∥OA得∠OBC＝60°
所以△OBC为等边三角形，∠BOC＝60°
例2. 如图，扇形AOB的圆心角为直角，若OA＝4，以AB为直径作半圆，求阴影部分的面积。
分析：图中阴影部分面积为：
以AB为直径的半圆面积减去弓形AmB面积；
而弓形面积等于扇形AOB面积减去△AOB面积。
解：∵OA＝4cm，∠O＝90°，OB＝4cm
∴
又
所以
而
故
例3. 如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是多少？
分析：五个扇形的圆心角分别为
而
解：设这个五个扇形的圆心角的度数分别为
∵五边形ABCDE内和角等于540°
则
五个扇形面积之和等于
例4. 已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径在扇形内作半圆⊙M，过M引MP∥AO交
于P，求与半圆弧及MP围成的阴影部分的面积S阴。
分析：此阴影部分不是一个规则图形，不能用公式直接求解。所以考虑将它分割为可求图形的面积求解。
解：连接OP
∵OA⊥OB，又∵MP∥OA
∴MP⊥OB，又∵OM＝BM＝1
OP＝OA＝2
∴∠1＝60°，∠2＝30°
∴
∴
设PM与半圆⊙M交于Q
∴
∴
例5. 如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切于点D，MN∥AB，MN＝8cm，ON、CD分别是两圆的半径，求阴影部分的面积。
分析：
所以关键是求⊙O半径OB或OM或ON
⊙C半径AC或CO或CD
而MN为⊙C切线，CD⊥MN且CD为⊙C半径
解：过O作OE⊥MN于E，则OE平分MN
∵MN∥AB可得四边形EOCD为矩形
所以OE＝CD，连接ON
在Rt△EON中
ON＝4
二、实际问题
例1. 一个小孩荡秋千，如图所示，秋千的链子的长为OA＝2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD恰好为60°，并且两边摆动角度相同。
求：（1）秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。
（2）秋千从B点摆动到D点所走过的路程（结果精确到0.01m）
分析：抽象出几何图形
OB＝OD＝OA为秋千的链子长
OA为秋千摆至最低位置
OB与OD为秋千摆至最高位置
AC为这两个位置的差
为摆动的路程。
解：连接BD交OA与C，则OA⊥BD于C
，∠BOD＝60°
则∠BOC＝∠COD＝30°
Rt△OCD中，
米
（2）的长l＝
米
答：（1）略。（2）略。
例2. 某燃料公司的院内堆放10个外径为1米的空油桶，为了防雨，防雷，需搭建简易防雨棚，这个防雨棚的高度最低应为多少米？
分析：实际问题抽象成几何模形，用几何图形解决。
解：△ABC为等边三角形
AB＝6个半径＝3米
米
则防雨棚高度等于
米。
答：高至少为
米。
例3. 新疆哈萨克民族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形，如图所示，为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布，已知圆锥的底面直径是5.7m，母线长是3.2m，铺满毡房顶部至少需要防雨布（精确到1m2）（ ）
A. 
B.
C. 
D.
分析：求圆锥侧面积
解：∵
选B。
例4. 如图，有一直径是
米的圆形铁皮，要从中剪出圆心角是90°的一个最大扇形ABC，求（1）被剪掉阴影部分的面积。（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？（结果可用根号表示）。（3）求圆锥的全面积。
分析：阴影部分面积是圆的面积减去一个圆心角为90°的扇形面积，其关键是要求出扇形的半径，由弧长等于底面周长可求出半径。
解：（1）连接BC
因为∠A＝90°，所以BC为⊙O的直径，BC
在Rt△ABC中，
又
（2）设圆锥底面半径为r，则
长为
所以
（3）
例5. 如图，这是圆桌上方的灯泡（看作一个点）发出的光线，照射桌面后，在地面上形成阴影（图形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积是多少？
分析：灯泡的光线射在地面上，形成的阴影可体会成一个圆锥，要求阴影的面积，即求底面圆的半径即可。
解：由已知可作轴截面
其中
从而OC＝2m，BC＝0.6
由BC∥OA得：
所以
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一. 选择题。
1. 在半径为3的⊙O中，弦MN＝3，则
的长为（ ）
A. 
B.
C.
D.
2. 扇形的周长为16，圆心角为
，则扇形的面积为（ ）
A. 16 B.
32 C.
64 D.
3. 如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的
，那么这个圆柱的侧面积是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
4. 已知圆锥的底面半径是3，高是4，则这个圆锥的侧面展开图的面积是（ ）
A. 
B. 
C.
D. 
5. 如图，ABCD是正方形，边长为a，以B为圆心，以BA为半径画弧，则阴影面积为（ ）
A. 
B.
C. 
D.
二. 填空题。
1. 直径为12cm的圆，60°圆周角所对的弧的弧长为___________厘米。
2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D点，若AC＝6cm，则
的长为___________厘米。
3. 一个扇形的弧长为
厘米，面积为
cm2，则该扇形的圆心角为___________度。
4. 已知圆柱母线与底面圆的直径相等，且底面积为
，则圆柱的侧面积为_________ 
。
5. 若圆锥的母线长为6cm，侧面展开图是圆心角为300°的扇形，则圆锥底面半径为___________cm。
6. 圆锥底面半径为4 cm，母线长为24cm，则侧面展开图中扇形的圆心角为__________。
7. 若用半径为15cm，圆心角为216°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为___________cm。
三. 解答题。
1. 已知的长为
厘米，所对的圆周角∠ACB＝60°，求弦AB的长。
2. 如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，∠B＝45°，
，AD⊥BC，垂足为D，以A为圆心，AD为半径画弧
，求图中阴影部分的面积。
3. 如图，
中，∠C＝90°，AC＝BC＝cm，分别以A、B、C为圆心画弧，使
所在的圆两两外切。求：
（1）的长；
（2）阴影部分的面积。
4. 如图，圆柱的高为12cm，底面直径为10cm，求图中圆锥的全面积。
【试题答案】
一. 选择题。
1. B 2. A 3. B 4. B 5. D
二. 填空题。
1. 
2.
3. 150 4.
5. 5 6. 60°
7. 12
三. 解答题。
1. 解：连结OB，OA，并过O作OM⊥AB于M
∴AM＝BM＝
∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°
∵
在Rt△BOM中
∠AOM＝60°
∴
2. 解：∵△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC，
∠BAC＝105°
∴∠BAD＝45°，∠DAC＝60°
∴BD＝AD＝2，
∴BC＝2＋
3. 解：（1）设BF＝x，CF＝y，AE＝z
∵∠C＝90°，AC＝BC＝∴AB＝2
则有
∴
∴
（2）
4. 解：连结
，
∵BC＝10，∴O1C＝5
又∵O1O2＝12
∴Rt
中
∴
