| 浙江省绍兴市2001年中考试题中一道颇有难度的综合性平几题。细致研究可发现此题解法灵活多样，思路宽广，涉及知识多，综合性强，不失为考查学生思维能力的一道难得的几何佳题。现给出它的几种不同的解法，供读者参考。
题目：如图1，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，点P由点C出发以每秒2cm的速度沿着线段CA向点A运动(不运动至A点)，⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，⊙O的半径是( )
A、 cm B、 cm C、 cm D、2cm
一、相似三角形与面积
解法一：在Rt△ABC中，∵AB=10cm，AC=8cm，∴BC=6cm。∵PC=4cm，∴PA=4cm。设OD=x，⊙O的半径为r，∵OD∥AC，∴ 。∴x=4- r。
∵S△ABC=S△AOC+ S△BOC+ S△AOB
∴ ×10r+×8r+×6r=×6×8。 ∴5r+4r+3(4-r)=24，∴r=
 (图1)  (图2)
解法二：如图2，在Rt△ABC中，∵AB=10cm，AC=8cm，
∴BC=6cm
∵P是AC的中点，
∴S△ABP=×S△ABC=12
∴AB×PH=24，PH=
∵OE∥BC，OF∥PH，
∴
由①+②得
∴r=
 (图3)  (图4)
二、相似三角形与勾股定理
解法三：如图3，设OD=x，⊙O的半径为r，∵OD∥AC，∴。
∴x=4-r ①
∵AE=AF=8-x，∴BF=2+x
∴OD2+BD2=OF2+BF2，
∴x2+(6-x)2=r2+(2+x)2，
∴x=8-3r ②
由①、②得4-r=8-3r，解得r=.
三、三角函数与勾股定理
解法四：如图4，设PE=x，⊙O的半径为r
∵tg∠CDB= ，∴x=r，
由勾股定理得：PO= r，∴BO=2 ，
∴AF=AE=4+r，∴BF=6-r，
∵OB2=OF2+BF2，∴(2)2=r2+(6-r)2
解得r=
四、三角形内角平分线性质
解法五：如右图，∵AE、AF是⊙O的切线，
∴∠1=∠2，
∴ ，
∴
∵OE∥BC，∴ ，∴r= 载自《理科考试研究》初中 | 
