第三讲 复习数列
一、 本讲进度
《数列》复习
二、 本讲主要内容
1、等差数列及等比数列的定义，通项公式，前n项和公式及性质；
2、一般数列的通项及前n项和计算。
三、 学习指导
1、数列，是按照一定顺序排列而成的一列数，从函数角度看，这种顺序法则就是函数的对应法则，因此数列可以看作是一个特殊的函数，其特殊性在于：第一，定义域是正整数集或其子集；第二，值域是有顺序的，不能用集合符号表示。
研究数列，首先研究对应法则——通项公式：an=f(n)，n∈N+，要能合理地由数列前n项写出通项公式，其次研究前n项和公式Sn：Sn=a1+a2+…an，由Sn定义，得到数列中的重要公式：
。
一般数列的an及Sn,，除化归为等差数列及等比数列外，求Sn还有下列基本题型：列项相消法，错位相消法。
2、等差数列
（1）定义，{an}为等差数列
an+1-an=d（常数），n∈N+2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N+）；
（2）通项公式：an=an+(n-1)d，an=am+(n-m)d；
前n项和公式：
；
（3）性质：an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差；
Sn=an2+bn，即Sn是n的不含常数项的二次函数；
若{an}，{bn}均为等差数列，则{an±nn},{
},{kan+c}（k，c为常数）均为等差数列；
当m+n=p+q时，am+an=ap+aq，特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…；当2n=p+q时，2an=ap+aq；
当n为奇数时，S2n-1=(2n-1)an；S奇=
a中，S偶=
a中。
3、等比数列
（1）定义：
=q（q为常数，an≠0）；an2=an-1an+1（n≥2，n∈N+）；
（2）通项公式：an=a1qn-1，an=amqn-m;
前n项和公式：
；
（3）性质
当m+n=p+q时，aman=apaq，特例：a1an=a2an-1=a3an-2=…，当2n=p+q时，an2=apaq，数列{kan}，{
}成等比数列。
4、等差、等比数列的应用
（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；
（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算；
（3）若{an}为等差数列，则{
}为等比数列（a>0且a≠1）；
若{an}为正数等比数列，则{logaan}为等差数列（a>0且a≠1）。
四、 典型例题
例1、已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，其中
，
，…，
恰为等比数列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn。
解题思路分析：
从寻找新、旧数列的关系着手
设{an}首项为a1，公差为d
∵ a1，a5，a17成等比数列
∴ a52=a1a17
∴（a1+4d）2=a1(a1+16d)
∴ a1=2d
设等比数列公比为q，则
对项来说，
在等差数列中：
在等比数列中：
∴
∴
注：本题把k1+k2+…+kn看成是数列{kn}的求和问题，着重分析{kn}的通项公式。这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”。
例2、设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7=7，S15=75,Tn为数列{
}的前n项和，求Tn。
解题思路分析：
法一：利用基本元素分析法
设{an}首项为a1，公差为d，则
∴
∴
∴
此式为n的一次函数
∴ {}为等差数列
∴
法二：{an}为等差数列，设Sn=An2+Bn
∴
解之得：
∴
，下略
注：法二利用了等差数列前n项和的性质
例3、正数数列{an}的前n项和为Sn，且
，求：
（1）数列{an}的通项公式；
（2）设
，数列{bn}的前n项的和为Bn，求证：Bn
.
解题思路分析：
（I）涉及到an及Sn的递推关系，一般都用an=Sn-Sn-1（n≥2）消元化归。
∵
∴ 4Sn=(an+1)2
∴ 4Sn-1=(an-1+1)2（n≥2）
∴ 4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2
∴ 4an=an2-an-12+2an-2an-1
整理得：(an-1+an)(an-an-1-2)=0
∵ an>0
∴ an-an-1=2
∴ {an}为公差为2的等差数列
在中，令n=1，a1=1
∴ an=2n-1
（II）
∴
注：递推是学好数列的重要思想，例本题由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an-1+1)2，它其实就是函数中的变量代换法。在数列中一般用n-1，n+1等去代替n，实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式，代换就是对n赋值。
例4、等差数列{an}中，前m项的和为77（m为奇数），其中偶数项的和为33，且a1-am=18，求这个数列的通项公式。
解题思路分析：
利用前奇数项和和与中项的关系
令m=2n-1，n∈N+
则
∴
∴ n=4
∴ m=7
∴ an=11
∴ a1+am=2an=22
又a1-am=18
∴ a1=20，am=2
∴ d=-3
∴ an=-3n+23
例5、设{an}是等差数列，
，已知b1+b2+b3=
，b1b2b3=
，求等差数列的通项an。
解题思路分析：
∵ {an}为等差数列
∴ {bn}为等比数列
从求解{bn}着手
∵ b1b3=b22
∴
b23=
∴ b2=
∴
∴
或 
∴
或 
∵
∴
∴ an=2n-3 或 an=-2n+5
注：本题化归为{bn}求解，比较简单。若用{an}求解，则运算量较大。
例6、已知{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和，
（1）用Sn表示Sn+1；
（2）是否存在自然数c和k，使得
成立。
解题思路分析：
（1）∵ 
∴
（2）
（*）
∵
∴
∴
式（*）
①
∵ Sk+1>Sk
∴
又Sk<4
∴ 由①得：c=2或c=3
当c=2时
∵ S1=2
∴ k=1时，c<Sk不成立，从而式①不成立
∵
∴
由Sk<Sk+1得：
∴
当k≥2时，
，从而式①不成立
当c=3时，S12，S2=3
∴ 当k=1，2时，C<Sk不成立
∴ 式①不成立
∵
∴
当k≥3时，，从而式①不成立
综上所述，不存在自然数c，k，使成立
例7、某公司全年的利润为b元，其中一部分作为资金发给n位职工，资金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相等）从大到小，由1到n排序，第1位职工得资金
元，然后再将余额除以n发给第2位职工，按此方法将资金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。
（1）设ak（1≤k≤n）为第k位职工所得资金额，试求a2，a3，并用k，n和b表示ak（不必证明）；
（2）证明：ak<ak+1（k=1，2，…，n-1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义。
解题思路分析：
谈懂题意，理清关系，建立模型
第1位职工的奖金
第2位职工的奖金
第3位职工的奖金
……
第k位职工的奖金
（2）
此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则。
例8、试问数列{
}的前多少项的和最大，并求这个最大值（lg2=0.3010）
解题思路分析：
法一：
∴ {an}为首项为2，公差为
的等差数列
∴ 
∵ n∈N+
∴ n=14时，(Sn)max=14.35
法二：∵ a1=2>0，d=
∴ {an}是递减数列，且Sn必为最大值
设
∴ 
∴ 
∴ k=14
∴ (Sn)max=S14=14.35
五、 同步练习
（一） 选择题
1、已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<logmab<1，则m取值范围是
A、m>1 B、1<m<8 C、m>8 D、0<m<1或m>8
2、设a>0，b>0，a，x1，x2，b成等差数列，a，y1，y2，b成等比数列，则x1+x2与y1+y2的大小关系是
A、x1+x2≤y1+y2 B、x1+x2≥y1+y2 C、x1+x2<y1+y2 D、x1+x2>y1+y2
3、已知Sn是{an}的前n项和，Sn=Pn（P∈R，n∈N+），那么数列{an}
A、 是等比数列 B、当P≠0时是等比数列
C、 当P≠0，P≠1时是等比数列 D、不是等比数列
4、{an}是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，则a3+a5等于
A、5 B、10 C、15 D、20
5、已知a，b，c成等差数列，则二次函数y=ax2+2bx+c的图象与x轴交点个数是
A、 0 B、1 C、2 D、1或2
6、设m∈N+，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是
A、 8204 B、8192 C、9218 D、8021
7、若x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0（a≠b）的四个根可组成首项为
的等差数列，则a+b的值为
A、 
B、
C、
D、
8、 在100以内所有能被3整除但不能被7整除的正整数和是
A、1557 B、1473 C、1470 D、1368
9、从材料工地运送电线杆到500m以外的公路，沿公路一侧每隔50m埋栽一根电线杆，已知每次最多只能运3根，要完成运载20根电线杆的任务，最佳方案是使运输车运行
A、 11700m B、14700m C、14500m D、14000m
10、已知等差数列{an}中，a3=a9，公差d<0，则使前n项和Sn取最大值的正整数n是
A、4或5 B、5或6 C、6或7 D、8或9
（二） 填空题
11、已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)，则它的前n项和Sn=______。
12、设等差数列{an}共有3n项，它的前2n项之和为100，后2n项之和为200，则该等差数列的中间n项的和等于
________。
13、设数列{an}，{bn}（bn>0），n∈N+满足
（n∈N+），则{an}为等差数列是{bn}为等比数
列的________条件。
14、长方体的三条棱成等比数列，若体积为216cm3，则全面积的最小值是______cm2。
15、若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，则(2-logba)(1+logca)=________。
（三）解答题
16、已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。
17、已知等比数列{an}的首项为a1>0，公比q>-1（q≠1），设数列{bn}的通项bn=an+1+an+2（n∈N+），数列{an},{bn}的前n项和分别记为An，Bn，试比较An与Bn大小。
18、数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1-an（n∈N+）
（1）求数列{an}通项公式；
（2）设Sn=a1+a2+…+an，求Sn；
（3）设
（n∈N+）Tn=b1+b2+…+bn，是否存在最大的整数m，使得对于任意的n∈N+，均有
成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。
参考答案
（一）选择题
1、C 2、B 3、D 4、A 5、D 6、A 7、D 8、B 9、D 10、B
（二）填空题
11、
12、75 13、充分且必要 14、216 15、2
（四）解答题
16、公比为2，项数为8
17、当
时，An>Bn；当
，q≠1时，An<Bn；当
时，An=Bn
18、（1）an=-2m=10；（2）
；（3）m=7