第五讲 复习平面向量
一、 本讲进度
《平面向量》复习
二、本讲主要内容
1、向量的概念；
2、向量的线性运算：即向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积等的定义，运算律；
3、向量运算的运用
三、学习指导
1、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法——有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中，借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释，有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等。
2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：
| 运 算 | 图形语言 | 符号语言 | 坐标语言 |
| 加法与减法 |
|
| 记 则 |
|
|
| ||
| 实数与向量 的乘积 |
|
λ∈R | 记 则λ |
| 两个向量 的数量积 |
|
cos< | 记 则 |
3、运算律
加法：
+
=+，(+)+
=+(+)
实数与向量的乘积：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=(λμ)
两个向量的数量积：·=·；(λ)·=·(λ)=λ(·)，(+)·=·+·
说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)2=
4、重要定理、公式
（1）平面向量基本定理；如果
+
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对数数λ1，λ2，满足=λ1+λ2，称λ1λ+λ2为，的线性组合。
根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应，称(λ1,λ2)为在基底{，}下的坐标，当取{，}为单位正交基底{
，
}时定义(λ1，λ2)为向量的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则
=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量
坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)
（2）两个向量平行的充要条件
符号语言：若∥，≠
，则=λ
坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则∥
(x1,y1)=λ(x2,y2)，即
，或x1y2-x2y1=0
在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0。
λ=
，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
（3）两个向量垂直的充要条件
符号语言：⊥·=0
坐标语言：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0
（4）线段定比分点公式
如图，设
则定比分点向量式：
定比分点坐标式：设P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）
则
特例：当λ=1时，就得到中点公式：
，
实际上，对于起点相同，终点共线三个向量
，
，
（O与P1P2不共线），总有=u+v，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。
（5）平移公式：
①点平移公式，如果点P（x，y）按=（h，k）平移至P’（x’，y’），则
分别称（x，y），（x’，y’）为旧、新坐标，为平移法则
在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标
②图形平移：设曲线C：y=f(x)按=（h，k）平移，则平移后曲线C’对应的解析式为y-k=f(x-h)
当h，k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移
利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质
（6）正弦定理，余弦定理
正弦定理：
余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosA
b2=c2+a2-2cacosB
c2=a2+b2-2abcosc
定理变形：cosA=
，cosB=
，cosC=
正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。
四、 典型例题
例1、如图，，
为单位向量，与夹角为1200， 
与的夹角为450，=5，用，表示。
解题思路分析：
以，为邻边，为对角线构造平行四边形
把向量在，方向上进行分解，如图，设
=λ，
=μ，λ>0，μ>0
则=λ+μ
∵ ==1
∴
λ=，μ=
△OEC中，∠E=600，∠OCE=750，由
得：
∴
∴
说明：用若干个向量的线性组合表示一个向量，是向量中的基本而又重要的问题，通常通过构造平行四边形来处理
例2、已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量
坐标。
解题思路分析：
用解方程组思想
设D（x，y），则=（x-2，y+1）
∵
=（-6，-3），·=0
∴ -6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0 ①
∵
=(x-3，y-2)，∥
∴ -6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0 ②
由①②得：
∴ D（1，1），=（-1，2）
例3、求与向量=
，-1）和=（1，
）夹角相等，且模为
的向量的坐标。
解题思路分析：
用解方程组思想
法一：设=（x，y），则·=x-y，·=x+y
∵
<，>=<，>
∴
∴
即
①
又=
∴ x2+y2=2 ②
由①②得
或
（舍）
∴=
法二：从分析形的特征着手
∵ ==2
·=0
∴ △AOB为等腰直角三角形，如图
∵ 
=，∠AOC=∠BOC
∴ C为AB中点
∴ C（
）
说明：数形结合是学好向量的重要思想方法，分析图中的几何性质可以简化计算。
例4、在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使
∶
=1∶3，
∶
=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记= ，=，用 ，表示向量。
解题思路分析：
∵ B、P、M共线
∴
记
=s
∴
①
同理，记
∴
=
②
∵
,不共线
∴
由①②得
解之得：
∴
说明：从点共线转化为向量共线，进而引入参数（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用该定理唯一性的性质得到关于s，t的方程。
例5、已知长方形ABCD，AB=3，BC=2，E为BC中点，P为AB上一点
（1）利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED=450；
（2）若∠PED=450，求证：P、D、C、E四点共圆。
解题思路分析：
利用坐标系可以确定点P位置
如图，建立平面直角坐标系
则C（2，0），D（2，3），E（1，0）
设P（0，y）
∴
=（1，3），
=（-1，y）
∴
·=3y-1
代入cos450=
解之得
（舍），或y=2
∴ 点P为靠近点A的AB三等分处
（3）当∠PED=450时，由（1）知P（0，2）
∴ 
=（2，1），=（-1，2）
∴·=0
∴ ∠DPE=900
又∠DCE=900
∴ D、P、E、C四点共圆
说明：利用向量处理几何问题一步要骤为：①建立平面直角坐标系；②设点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算计算结果；⑤得到结论。
五、 同步练习
（一） 选择题
1、平面内三点A（0，-3），B（3，3），C（x，-1），若
∥
，则x的值为：
A、 -5 B、-1 C、1 D、5
2、平面上A（-2，1），B（1，4），D（4，-3），C点满足
，连DC并延长至E，使
=
，则点E坐标为：
A、（-8，
） B、（
） C、（0，1） D、（0，1）或（2，
）
2、点（2，-1）沿向量平移到（-2，1），则点（-2，1）沿平移到：
3、A、（2，-1） B、（-2，1） C、（6，-3） D、（-6，3）
4、△ABC中，2cosB·sinC=sinA，则此三角形是：
A、 直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、以上均有可能
5、设，， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
①(·)-(·)=0 ②-<-
③(·)-(·)不与垂直 ④(3+2)·(3-2)=92-4
2中，真命题是：
A、①② B、②③ C、③④ D、②④
6、△ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则∠C度数是：
A、600 B、450或1350 C、1200 D、300
7、△OAB中，=，=，=
，若=
，t∈R，则点P在
A、∠AOB平分线所在直线上 B、线段AB中垂线上
C、AB边所在直线上 D、AB边的中线上
8、正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=（0，3），
=（4，0），则
=
A、（
） B、（
） C、（7，4） D、（
）
（二） 填空题
9、已知{，是平面上一个基底，若=+λ，=-2λ-，若，共线，则λ=__________。
10、已知=
，=1，·=-9，则与的夹角是________。
11、设，是两个单位向量，它们夹角为600，
则(2-)·(-3+2)=____________。
12、把函数y=cosx图象沿
平移，得到函数___________的图象。
（三） 解答题
13、设=（3，1），=（-1，2），⊥，∥，试求满足
+=的的坐标，其中O为坐标原点。
14、若+=（2，-8），-=（-8，16），求、及与夹角θ的余弦值。
15、已知=，=3，和夹角为450，求当向量+λ与λ+夹角为锐角时，λ的取值范围。
参考答案
（一）1、C 2、B 3、D 4、B 5、D 6、B 7、A 8、A
（二）9、
10、
11、
12、y=sinx+1
（三）13、（11，6）
14、=（-3，4），=（5，-12），
15、λ<
，或λ>
且λ≠1