开放与探索水平测试
一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数
的图象过点
，则
可以是 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．（理）满足条件z－i=3＋4i的复数z在复平面上对应点的轨迹是 （ ）
A． 一条直线 B． 两条直线 C． 圆 D． 椭圆
（文）已知直线x=k(k>0)和圆(x－1)2+y2=4相切，那么k的值是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．设m、n是两条不同的直线，a，b，g是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥a，n∥a，则m⊥n ②若a∥b，b∥g，m⊥a，则m⊥g
③若m∥a，n∥a，则m∥n ④若a⊥g，b⊥g，则a∥b
其中正确命题的序号是（ ）
A．①和② B．②和③
C． ③和④ D．①和④
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
5．函数f(x)=x2－2ax－3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ）
A．
B．
C． 
D． 
6．已知a、b、c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是 （ ）
A．ab>ac B．c(b－a)<0 C．cb2<ab2 D．ac(a－c)>0
7．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条线段为边可组成钝角△的概率为（ ）
A．
B．
C． 
D．
8．函数
，其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定
，
，给出下列四个判断：
①若
，则
②若
，则
③若
，则
④若
，则
其中正确判断有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转90°得到,则f(x)=( )
A．10-x-1 B．10x-1 C．1-10-x D．1-10x
10．已知数列
的通项公式
，设其前n项和Sn，则使Sn<－5
成立的自然数n （ ）
A．有最小值63 B．有最大值63 C．有最小值31 D．有最大值31
11．若不等式
内恒成立，则a的取值范围是 （ ）
A．
≤a<1 B．<a<1 C．0<a≤ D．0<a<
12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个
座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 （ ）
A．234 B．346 C．350 D．363
二． 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱
其中，真命题的编号是 （写出所有正确结论的编号）
14．若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列,下列{an}的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组．(写出所有符合要求的组号)
①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an。其中n为正整数, Sn为{an}的前n项和．
15．教材中“直线与圆的方程”与“圆锥曲线方程”两章内容体现出解析几何的本质是 ．
16．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
已知数列{an}是等和数列，且a1＝2，公和为5，那么a18的值为______________，这个数列的前n项和Sn的计算公式为________________
三． 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）设P(x，y)、Q(x′，y′)，且将关系式
看作坐标平面内的一个变换，它将平面内的点Ｐ变换到这一平面上的Ｑ点。是否存在这样的直线它上面的任何一点经过上述变换后得到的点仍旧在该直线上。若存在，求出所有这样的直线；若不存在，说明理由。
18．（本小题满分12分）已知f(x)=
(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数．
⑴求实数a的值组成的集合A；
⑵设关于x的方程f(x)=
的两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥x1－x2对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分12分）已知常数a>0，向量c=(0，a)，i=(1，0)，经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0，a)以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得PE+PF为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分12分）给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的，r1称为第一组余差；
然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为r2；如此继续构成第三组（余差为r3）、第四组（余差为r4）、…，直至第N组（余差为rN）把这些数全部分完为止。
⑴判断
的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数
⑵当构成第n（n<N）组后，指出余下的每个数与
的大小关系，并证明
⑶对任何满足条件T的有限个正数，证明：
21．（本小题满分13分）设P1(x1,y1), P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线C上的点, 且a1=OP12, a2=OP22, …, an=OPn2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O是坐标原点． 记Sn=a1+a2+…+an．
⑴若C的方程为
=1,n=3． 点P1(3,0) 及S3=255, 求点P3的坐标；(只需写出一个)
⑵若C的方程为
(a>b>0)． 点P1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求Sn的最小值；
⑶请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P1, P2,…Pn存在的充要条件,并说明理由．
22．（本小题满分13分）⑴给出两块相同的正三角形纸片(如图1，图2)，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；
⑵试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
⑶如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3)，要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．
开放与探索水平测试参考答案
一． 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。
1．A 2．C 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B 9．A 10．A 11．C 12．B
二． 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
13．②④ 14．①④ 15．用代数的方法研究图形的几何性质．
16．3 当n为偶数时，
；当n为奇数时，
三． 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．思路点拨：解答时首先应该读懂题意，不必深究这到底是一个什么变换，是否存在这样的直线其实质就是(x，y)与(
两点是否均在同一直线上，从而转换为讨论方程组的解的问题。
详细解答：假设存在这样的直线，∵平行于坐标轴的直线显然不符合条件，故可设所求的直线方程为y＝kx＋b(k≠０)该直线上任何一点(x，y)经过变换后得到点(仍旧在该直线上。∴
＝k(
＋b，也就是
，∵
无解，故不存在这样的直线。
当b=0时由
，解得k=
或k=
，所以满足条件的所有直线为y=x或y=x。
18．解：⑴f＇(x)=
=
，
∵f(x)在[－1，1]上是增函数，
∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立． ①
设(x)=x2－ax－2，
方法一：①
－1≤a≤1，
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ′(－1)=0以及当a=－1时，f ′(1)=0
∴A={a－1≤a≤1}．
方法二：①
或
0≤a≤1或－1≤a<0
－1≤a≤1．
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0
∴A={a－1≤a≤1}．
⑵由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0
∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两实根，∴
从而x1－x2=
=
．
∵－1≤a≤1，∴x1-x2=≤3．
要使不等式m2+tm+1≥x1－x2对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立． ②
设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，
方法一：②
m≥2或m≤－2．
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥x1－x2对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{mm≥2，或m≤－2}．
方法二： 当m=0时，②显然不成立； 当m≠0时，
②
或
m≥2或m≤－2．
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥x1－x2对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{mm≥2，或m≤－2}．
19．解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值．
∵i=(1，0)，c=(0，a)， ∴
因此，直线OP和AP的方程分别为 
y=ax和y－a=－2ax ．
消去参数，得点P(x，y)的坐标满足方程y (y－a)=－2a2x2
，
整理得
①
因为a>0，所以得：
(i)当a=
时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
(ii)当0<a<时，方程①表示椭圆，焦点E
和
为合乎题意的两个定点；
(iii)当a>时，方程①表示椭圆，焦点E
和F
))为合乎题意的两个定点．
20．解：⑴
。除第N组外的每组至少含有
个数
⑵当第n组形成后，因为
，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差，余下数之和也大于第n组的余差，即
由此可得
因为
，所以
⑶用反证法证明结论，假设
，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，余下的每个数都大于第11组的余差
，且
故余下的每个数
（*）
因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于
此时第11组的余差
这与（*）式中
矛盾，所以
21．(1) a1=
2=100,由S3=
(a1+a3)=255,得a3=
3=70．
由
得
∴点P3的坐标可以为(2
, 
)．
(2) 【解法一】原点O到二次曲线C:(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a．
∵a1=2=a2, ∴d<0,且an=
2=a2+(n－1)d≥b2,
∴
≤d<0． ∵n≥3,
>0
∴Sn=na2+d在[,0)上递增,
故Sn的最小值为na2+·=
．
【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),
由
解得y
=
∵0< y≤b2,得
≤d<0
∴≤d<0
以下与解法一相同．
(3) 【解法一】若双曲线C:
－
=1,点P1(a,0),
则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是d>0．
∵原点O到双曲线C上各点的距离h∈[a,+∞),且OP1=a2,
∴点P1, P2,…Pn存在当且仅当2>2,即d>0．
【解法二】若抛物线C:y2=2x,点P1(0,0),
则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是d>0．理由同上
【解法三】若圆C:(x－a)+y2=a2(a≠0), P1(0,0),
则对于给定的n, 点P1, P2,…Pn存在的充要条件是0<d≤
．
∵原点O到圆C上各点的最小距离为0,最大距离为2a,
且OP1=0, ∴d>0且OPn2=(n－1)d≤4a2．即0<d≤．
22．解：⑴如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．
如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的
，有一组对角为直角．余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底．
⑵依上面剪拼的方法，有V柱>V锥．
推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为
现在计算它们的高：
所以，V柱>V锥．
⑶如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形．以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型．
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