综合试题（3）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，映射f：A→B使得B中有且只有一个元素
在A中的原象为2个，这样的映射f的个数为 （ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
2．已知
的值为 （ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列判断错误的是 （ ）
A．命题“若q则p”与命题“若Øp则Øq”互为逆否命题
B．“am2<bm2”是“a<b”的充要条件
C．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假
D．命题“
”为真（其中
为空集）
4．若实数a、b满足ab<0，则有 （ ）
A．a－b<a－b B．a－b<a+b C．a+b>a－b D．a+b<a－b
5．若
的展开式第二项的值大于1000，则实数x的取值范围为 （ ）
A．x<－10或x>10 B．
C．
D．x>10
6．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一
个营养级.在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10kj的能量，则需H1提供的能
量为 （ ）
A．105kj B．104kj C．103kj D．102kj
8．函数y=x3－3x在[－1，2]上的最小值为 （ ）
A．2 B．－2 C．0 D．－4
9．给定两个向量
，则x的等于 （ ）
A．－3 B．
C．3 D．－
10．若某等差数列{an}中，a2+a6+a16为一个确定的常数，则其前n项和Sn中也为确定的常数
的是 （ ）
A．S17 B．S15 C．S8 D．S7
11．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（－2，
4）重合，若点（7，3）与点（m ,n）重合，则m+n的值为 （ ）
A．4 B．－4 C．10 D．－10
12．方程
所表示的曲线图形是 （ ）
二、填空题：本大题共4小题，共16分，把答案填在题中横线上.
13．某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200和1000人，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查了 人.
14．已知
.
15．在一个水平放置的底面半径为
的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入下个半径为R的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R，则R=
.
16．设函数
，则方程
的解为
.
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率.
⑴摸出2个或3个白球
⑵至少摸出一个黑球.
18．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.
|
⑵求二面角B—A1N—B1的正切值.
19．（本小题满分12分）已知函数
⑴将f(x)写成
的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
⑵如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
20．（本小题满分12分）设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列{an+1－an }（n∈N*）是等差数理，数列{bn－2}(n∈N*)是等比数列.
⑴求数列{an}和{bn}的通项公式；
⑵是否存在k∈N*，使ak－bk∈（0，）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）已知椭圆
的一条准线方程是
其左、右顶点分别是A、B；双曲线
的一条渐近线方程为3x－5y=0.
⑴求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
⑵在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若
。求证：
22．（本小题满分14分）已知函数：
⑴证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立.
⑵当f(x)的定义域为[a+,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]；
⑶设函数g(x)=x2+(x－a)f(x) ,求g(x) 的最小值 .
综合试题（3）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求的。
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | D | B | D | D | C | C | B | A | B | C | D |
二、填空题：本大题4个小题，共16分）
13．185 14．
15． 16．x=0，2或－
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．解：⑴设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A、B，则
∵A、B为两个互斥事件
∴P（A+B）=P（A）+P（B）=
即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为…………6分
⑵设摸出的4个球中全是白球为事件C，则
|
至少摸出一个黑球为事件C的对立事件
其概率为
………………12分
18．（A）⑴证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F
∵E为A1B中点
∴EF∥
BB1…………2分
又∵M为CC1中点 ∴EF∥ C1M
|
而EM 
平面A1B1C1D1 . FC1
平面A1B1C1D1 .
∴EM∥平面A1B1C1D1………………6分
⑵由⑴EM∥平面A1B1C1D1 EM平面A1BMN
平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N ∴A1N// EM// FC1
∴N为C1D1 中点
过B1作B1H⊥A1N于H，连BH，根据三垂线定理 BH⊥A1N
∠BHB1即为二面角B—A1N—B1的平面角……8分
设AA1=a， 则AB=2a， ∵A1B1C1D1为正方形
∴A1H=
又∵△A1B1H∽△NA1D1
∴B1H=
在Rt△BB1H中，tan∠BHB1=
即二面角B—A1N—B1的正切值为
……12分
（B）⑴建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2a，AA1=a(a>0)，则
A1（2a，0，a），B（2a, 2a , 0）, C（0，2a，0），C1（0，2a，a）……2分
∵E为A1B的中点，M为CC1的中点 ∴E（2a , a , 
），M（0，2a, ）
∴EM// A1B1C1D1 …………6分
|
=（x, y , z ），又
=（0，2a , －a ） 
由
，得
…………9分
而平面A1B1C1D1的法向量为
.设二面角为
，则
又：二面角为锐二面角 
，……11分
从而
………………12分
19．⑴解：
…3分
由
=0即
即对称中心的横坐标为
…………6分
⑵由已知b2=ac
即
的值域为
综上所述，
值域为…………12分
20．解：⑴由已知a2－a1=－2, a3－a2=－1, －1－(－2)=1
∴an+1－an=(a2－a1)+(n－1)·1=n－3
n≥2时，an=( an－an－1)+( an－1－an－2)+…+( a3－a2)+( a2－a1)+ a1
=(n－4)+(n－5) +…+(－1)+(－2)+6
=
n=1也合适. ∴an= (n∈N*) ……………………3分
又b1－2=4、b2－2=2 .而
∴bn－2=（b1－2）·()n－1即bn=2+8·()n…6分
∴数列{an}、{bn}的通项公式为：an= ，bn=2+()n－3
⑵设
当k≥4时
为k的增函数，－8·()k也为k的增函数，而f(4)=
∴当k≥4时ak－bk≥………………10分
又f(1)=f(2)=f(3)=0 ∴不存在k， 使f(k)∈（0，）…………12分
21．⑴由已知
………………3分
∴椭圆的方程为
，双曲线的方程
.
又
∴双曲线的离心率
…………………………6分
⑵由⑴A（－5，0），B（5，0），设M
得m为AP的中点
∴P点坐标为
将m、p坐标代入c1、c2方程得
消去y0得
解之得
由此可得P（10，
………………9分
当P为（10， 时 PB：
即
代入
MN⊥x轴 即
…………12分
22．⑴证明：
∴结论成立 ……………………………………4分
⑵证明：
当
即
…………9分
⑶解：
①当
如果
即
时，则函数在
上单调递增
如果
当
时，
最小值不存在…………………………11分
②当
如果
如果
…13分
当
综合得：当
时 g（x）最小值是
当
时，g（x）最小值是
；当
时，g（x）最小值为
；
当时，g（x）最小值不存在………………14分