杭州二中高三代数质量检测题（五）
（2005年12月26日下午3：05－4:35） 命题：黄宗巧
一、选择题：满分60分，共10小题，每小题6分.
1.函数
的最小值为
( )
（A）
（B） 2
（C）
（D）
2.某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合的抽取样本的方法是 ( )
(A)简单随机抽样 (B)系统抽样
(C)分层抽样 (D)先从老年人中随机剔除1人，然后分层抽样
3.如果函数
的图象按
平移得到
的图象,则
( )
（A）
（B）
（C）
（D）
4.已知随机变量
，若
，则
分别是 ( )
(A)6和
(B)2和 (C)2和
(D)6和
（文科）若函数
的定义域是
,则
定义域是 ( )
（A） （B）
（C）
（D）
5．若
，
，
，则
、
的大小关系是
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）无法判断
6. 函数
在
上单调递减，则
的取值范围是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7．已知
为
上的奇函数，且
，
.则
在区间
内实根的个数最少是
（ ）
（A）10 （B）9 （C）8 （D）5
8.
是首项为1的等比数列
的前
项和，若
, 则公比
的范围是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
（文科）已知两个等差数列
满足
，
则
(
) （A）
（B） 2 （C）
（D）
9.函数
的值域是
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
10.已知全集
，则满足 
的集合对
、
共有
（ ）
（A）24对 （B）27对 （C）37对 （D）42对
二、填空题：满分30分，共6小题，每小题5分.
11．已知点
，O为坐标原点，
， 若点P在第四象
限内，则实数
的取值范围是
.
12．函数
的反函数是
.
13.若集合
，则实数
的取值范围是
.
14. 设甲射击一次，击中目标的概率是
.假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响，且连续2次未击中目标，则停止射击.则甲恰好射击5次后，被中止射击的概率是 .
15.若关于
的方程
在区间
内恰有一个实根，则实数的取值范围是 .（文科）若关于的方程
有三个不同的实根，则
的取值范围是 .
16．给出下列四个命题：①设
，若
，则
；②若偶函数
在
处可导，则
； ③函数与
的图象关于直线
对称；④函数
的最小值是 5.则其中错误的命题的序号是 .
杭州二中高三代数质量检测题（五）答题卷
班级 姓名 学号
一．选择题：满分60分，共10小题，每小题6分.
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | A | D | A | B | C | C | B | B | B | C |
二．填空题：满分30分，共6小题，每小题5分.
（11）
，（12） 
，
，（13）
，
（14）
，（15）
,文
（16）③
三．解答题：满分60分，共4小题，每小题15分.
17.已知向量
，定义函数
，求函数的最小正周期、单调递增区间.
解：.因为
所以 
,故 
,
令
，则
的单调递增的正值区间是
，单调递减的正值区间是
则当
时，函数的单调递增区间为
当
时，函数的单调递增区间为
18．已知不等式
对任意
恒成立，试求实数a的取值范围.
解：令
，则
对任意恒成立
则
，且
，解得：
所以
，解得
，
19.已知f(x)=
在区间[－1，1]上是增函数.（1）求实数a的值组成的集合A；（2）设关于x的方程f(x)=
的两个非零实根为x1、x2.是否存在实数m，使得对任意a∈A及t∈[－1，1],不等式m2+tm+1≥x1－x2恒成立？
解：（2004福建文T22）
（1）f＇(x)=4+2
∵f(x)在[－1，1]上是增函数，∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ① 设
(x)=x2－ax－2，
方法一：
(1)=1－a－2≤0，
①
－1≤a≤1，
(－1)=1+a－2≤0.∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0∴A={a－1≤a≤1}.
方法二：
≥0，
<0，
①
或
(－1)=1+a－2≤0 (1)=1－a－2≤0
0≤a≤1 或 －1≤a≤0 －1≤a≤1.
∵对x∈[－1，1]，只有当a=1时，f＇(－1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
∴A={a－1≤a≤1}.
（2）由
∵△=a2+8>0∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，
x1+x2=a，x1x2=－2 从而x1－x2=
=
，
∵－1≤a≤1，∴x1-x2=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥x1－x2对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m2+tm+1≥3即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ②
设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，
方法一：
g(－1)=m2－m－2≥0，
②
g(1)=m2+m－2≥0，m≥2或m≤－2.
方法二：当m=0时，②显然不成立；当m≠0时，
m>0，
m<0，
②
或
g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥x1－x2对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{mm≥2，或m≤－2}.
20.已知数列
满足：
，且
.
(1)用数学归纳法证明：
；（2）试求的通项公式；（3）对于
，求证：
.
提示：（2）
（3）分析：由已知可得：
方法1：
，所以左边＝
方法2：
故：左边=
故：左边
方法3：由
又
累加可证
方法4：对上面方法3的一种推广：
对任意的
，
证明如下：若
，
，
，故得证
若
，则
同理可证
这样，利用上述命题，对左边各式进行任意组合，便可证明
（文科）设等比数列的公比为，前n项和
.（1）求的取值范围；（2）设
，记
的前n项和为
，试比较与的大小.
解：(2005全国卷Ⅰ)
（1）因为
是等比数列，
当
上式等价于不等式组：
①
或
②
解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.
综上，q的取值范围是
（2）由
得
于是
又∵
>0且－1<<0或>0
当
或
时
即
当
且≠0时，
即
当
或=2时，
即