2005年上海市高三数学十校联考试卷（理科）（解答）
(南模、复兴、上外、复旦附中、延安、华东师大二附中、上海、上师大附中、交大附中、向明)
一、填空题：
1、若集合
，集合
，则
。
2、函数
的反函数的定义域是 
。
3、已知椭圆
的左焦点是
，右焦点是
，点
在椭圆上，如果线段
的中点在
轴上，那么
。
4、化简：
。
5、已知
，以
为边作平行四边形
，则
与
的夹角为 
。
6、在集合
中任取一个元素，所取元素恰好满足方程
的概率是 
。
7、正方体
中，与
异面，且与所成角为
的面对角线共有 
条。
8、曲线
的长度是 
。
9、若复数
满足
，且在复平面内所对应的点位于
轴的上方，则实数
的取值范围是 
。
10、一质点在直角坐标平面上沿直线匀速行进，上午7时和9时该动点的坐标依次为
和
，则下午5时该
点的坐标是 
。
11、若对任意实数
都有
，则
。
12、对于各数互不相等的正数数组
（
是不小于
的正整数），如果在
时有
，则称
与
是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。例如，数组
中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，2”，其“逆序数”等于4。若各数互不相等的正数数组
的“逆序数”是2，则
的“逆序数”是 
。
二、选择题：
13、若角
和
的始边都是轴的正半轴，则
是两角终边互为反向延长线的
（ A ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
14、函数
（ A ）
（A）在上单调递增
（B）在
上单调递增，在
上单调递减
（C）在上单调递减
（D）在上单调递减，在上单调递增
15、2005年1月6日《文汇报》载当日我国人口达到13亿，
如图为该报提供的我国人口统计数据。2000年第五次全国
人口普查后，专家们估算我国人口数的峰值为16亿，如果
我国的人口增长率维持在最近几年的水平，那么，我国人口
数大致在 年左右达到峰值。 （ B ）
16、定义域和值域均为
（常数
）的
函数
和
的图像如图所示，给
出下列四个命题：
（1）方程
有且仅有三个解；
（2）方程
有且仅有三个解；
（3）方程
有且仅有九个解；
（4）方程
有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是 （ B ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
三、解答题：
17、在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数
和
描述。如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达。在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现怎样的状态，请说明理由。
解：由愿意得
即三个振动源产生的振动被相互抵消，所以，原本平静的水面仍保持平静。
18、解关于的不等式
解：
，∵
，∴
若
，则
，即
；
若
，则
；
若
，则
，即
； 若
，则
。
19、过直角坐标平面
中的抛物线
的焦点
作一条倾斜角为
的直线与抛物线相交于A，B两点。
（1）用
表示A，B之间的距离；
（2）证明：
的大小是与无关的定值，并求出这个值。
解：（1）焦点
，过抛物线的焦点且倾斜角为的直线方程是
由
( 或 
)
（2）
∴的大小是与无关的定值，
。
20、一个多面体的直观图，前视图（正前方观察），俯视图（正上方观察），侧视图（左侧正前方观察）如下所示。
（1）求
与平面
所成角的大小及
面
与面所成二面角的大小；
（2）求此多面体的表面积和体积。
解：（1）由已知图可得，平面
平面，取
中点
，连接
，
在等腰
中有
，则
平面，
是与平面所成角，
，∴
取
中点
，连接
，同理有
平面，即
是
在
平面内的射影，在中，
，
又
，设面与面所成二面角的大小为，则
∴面与面所成二面角的大小为
。
（2）此多面体的表面积
此多面体的体积
21、已知数列
有
，
（常数
），对任意的正整数，
，并有
满足
。
（1）求的值；
（2）试确定数列是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；
（3）对于数列
，假如存在一个常数
使得对任意的正整数都有
，且
，则称为数列的“上渐近值”，令
，求数列
的“上渐近值”。
解：（1）
，即
（2）
∴是一个以
为首项，为公差的等差数列。
（3）
，
∴
又∵
，∴数列的“上渐近值”为
。
22、（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长的最小值；
（2）若三角形有一个内角为
，周长为定值，求面积
的最大值；
（3）为了研究边长
满足
的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：
而
，则
，但是，其中等号成立的条件是
，于是
与
矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值。
以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案。
（注：称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）
解：（1）设直角三角形两直角边长为、
，斜边长为，则
∴两直角边长为
时，周长的最小值为
。
（2）设三角形中边长为、的两边所夹的角为，则周长
∴
，即
又
，∴面积的最大值为
。
（3）不正确。
而
，则
，
其中等号成立的条件是 
，则
∴当三角形的边长为
的直角三角形时，其面积取得最大值
。
（ 另法：
）