高三单元试题之十五复数（理）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(1－i)2·i ＝ （ ） A．2－2i B．2+2i C． 2 D．－2
2．设复数
= （ ）
A．
B．
C．
D．
3．复数
的值是 （ ）
A．4i B．－4i C．4 D．－4
4．设复数z＝1＋
i，则z2－2z= （ ）
A．－3 B．3 C．－3i D．3i
5．复数
的值是 （ ）
A．－1 B．1 C．32 D．－32
6．复数
的值是 ( )
A．－16 B．16 C．－
D．
7．设复数
的辐角的主值为
，虚部为
，则
＝ （ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知复数z1＝3+4i，z2＝t+i，且
是实数，则实数t＝
（ ）
A．
B．
C．- D．-
9．
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若
且
的最小值是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．复数
的共轭复数是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．若复数
是一个纯虚数，则自然数
的值可以是 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上．
13．已知复数z与 (z +2)2－8i 均是纯虚数，则 z = ____________．
14．若复数z满足z(1+i)=2，则z的实部是__________．
15．在复平面内，
是原点，
，
，
表示的复数分别为
，那么
表示的复数为____________.
16．
，那么以z1为直径的圆的面积为_______。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i， z2=a－2－i， 其中i为虚数单位，a∈R， 若
<z1，求a的取值范围.
18．（本小题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求 z1·z2的最大值和最小值.
19．（本小题满分12分）已知复数z的辐角为60°，且 z－1是 z和 z－2的等比中项. 求 z。
20．（本小题满分12分）已知z、w为复数，（1+3i）z为实数，w=
．
21．(本小题满分12分) 在复平面上，正方形ABCD的两个顶点A，B对应的复数分别为 1+2i，3－5i。求另外两个顶点C，D对应的复数。
22．(本小题满分14分) 已知：复数z1=m+ni，z2=2－2i和z=x+yi，若z=
i－z2
⑴若复数z1所对应点M(m，n)在曲线y=
(x+3)2+1上运动，求复数z所对应点P(x，y)的轨迹方程；
⑵将⑴中P的轨迹上每一点沿着向量
={
，1}方向平移
个单位，得新的轨迹C，求C的方程；
⑶过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线l，l交y轴于点B，问：以AB为直径的圆是否恒过x轴上一定点？若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由；
高三单元试题之十五：复数（理）参考答案
一、1．C 2．C 3．D 4．A 5．A 6．A 7．A 8．A 9．B 10．B 11．B 12．D
二、13．－2i 14．1 15．4－4i 16．4π
三、17．解：由题意得 z1=
=2+3i，
于是=
=
，
=
.
<，得a2－8a+7<0，1<a<7.
18．解：z1·z2＝1+sinθcosθ+(cosθ－sinθ)i
故z1·z2的最大值为，最小值为
.
19．解：设
，则复数
由题设
20．解：设w＝x+yi(x，y∈R)，依题意得(1+3i)(2+i)w＝(－1+7i)w为实数，且w＝5，
∴
，解之得
或
，∴w＝1+7i或w＝－1－7i。
21．解：当A、B、C、D按逆时针方向排列时，对应的复数为(3－5i)－(1+2i)＝2－7i。
故
对应的复数为(2－7i)i=7+2i，
对应的复数为(7+2i)＋(2－7i)＝9－5i。
于是C点对应的复数为(9－5i)+(1+2i)＝10－3i，D点对应的复数为(7+2i)+(1+2i)＝8+4i。
同样，当A、B、C、D按顺时针方向排列时，C、D点对应的复数分别为－4－7i，－6。
22．解：⑴(y+1)2=2(x+1)
⑵向右平移，向上平移1，得y2=2(x－)
⑶设A(x0，y0)，斜率为k，切线y－y0=k(x－x0) (k≠0)，代入整理得
ky2－2y+(2y0－2kx0+k)=0，△=0得(2x0－1)k2－2y0k+1=0
y
=2x0－1，代入yk2－2y0k+1=0，得k=
.
令x=0，B(0，y0－
)，以AB为直径的圆(y－y0)[y－( y0－)]+x(x－x0)=0
令y=0，x=1 即恒过(1，0)。