四川省泸州市高中2006级第一次诊断考试
数学（理工农医类）
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本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至8页。120分钟完卷，满分150分。
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第Ⅰ卷（选择题，共60分）
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注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑，若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不准答在本题单上。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；
如果事件A、B相互独立，那么P(A•B)=P(A)•P(B)；
如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次概率：
。
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上。
1．已知集合
，
，则集合B中的元素个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2．
A. 
B.
C. 
D.
3．函数
的反函数是
A. 
B.
C. 
D.
4．函数
的一个单调递减区间是
A. 
B. 
C. 
D. 
5．设随机变量
服从二项分布B(n,
p)，且
，则n, p的值分别为
A. n=30，p=0.2 B. n=20，p=0.1 C. n=8，p=0.2 D. n=10，p=0.2
6．等比数列
的前n项和为Sn，已知S4=1，S8=3，则
的值为
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
7．已知单位向量a、b，它们的夹角为
，则
的值为
A. 
B.
C.
10
D. －10
8．已知函数
，若
，则x0的取值范围是
A. （－1，1）
B. (
)
C. 
D.
9．在ΔABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，且
，则ΔABC的形状是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
10．定义在R上的偶数函数
在
上是增函数，若
，则适合不等式
>0的x的取值范围是
A. 
B.
C. 
D. 
11．设函数
，若对任意
，存在x1，x2使
恒成立，则
的最小值是
A. 1
B. 
C.
4 D.
2
12．甲、乙两工厂2004年元月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加且每月增加的数量相同，乙厂产值也逐月增加且每月的增长率相同，若2005年元月份两厂的产值又相等，则2004年7月份两厂的产值关系是
A. 甲厂的产值高 B. 乙厂的产值高
C. 甲厂、乙厂的产值相同 D. 无法确定
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13．函数
在
上处处连续，则常数a等于
。、
14．已知向量
与
共线，则实数n=
。
15．设数列的前n项和Sn满足：
，则该数列的通项公式an= 。
16．给出以下命题
①设
，则
；
②函数
的图象的一条对称轴为
；
③要得到函数
的图象只须将
的图象向左平移个单位长度。其中正确命题的序号是
。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
角A、B、C是ΔABC的内角，
，向量
，
且
。
（1）求sinA的值；
（2）求
的值。
18．（本小题满分12分）
已知
若
是
的充分条件，求实数a的范围。
19．（本小题满分12分）
甲、乙两名运动员各自投篮命中率分别为0.6和0.7。
（1）如果每人投篮两次，求甲投进两次，乙投进一次的概率；
（2）如果每人投篮一次，若投进一球得2分，未投进得0分，求两人得分之和的分布列和期望。
20．（本小题12分）
已知函数
在x=2时有极值，其图象在点（1，f(1)）处的切线与直线
平行。
（1）求该函数的单调递减区间；
（2）当m>0时，求函数f(x)在[0,m]上的最小值。
21．（本小题满分12分）
设等差数的前n项和为Sn，公差d >0，若
。
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，若
是等差数列且
，求实数a与
的值。
22．（本小满分14分）
已知二次函
。
（1）若任意x1，x2∈R，且
，都有
，求证：关于x的方程
有两个不相等的实数根且必有一个根属于（
）；
（2）若关于x的方程在（）的根为m，且
成等差数列，设函数f (x)的图象的对称轴方程为
，求证：
。
泸州市高中2006级第一次诊断考试参考答案及评分意见
数学（理）答案
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | C | A | C | A | D | C | B | D | D | A | D | A |
二、填空题
13. -1
14. ±2 15. 
16. ①②
三、解答题
17. 解：（1）∵向量
，
∴
①
2分
由
②
由①②得：
解得：
或
4分
又
∴
，
故
6分
（2）∵A+B=
，
∴
8分
10分
12分
18. 解：∵
，
2分
故：1≤x<3。 4分
∵
∴
6分
（1）当a<1时，a≤x≤1；
（2）当a=1时，x=1；
（3）当a>1时，1≤x≤a。 8分
∵是的充分条件
10分
∴q是p的充分条件 10分
设q对应集合A，p对应集合B,则A
B，
当a<1时，A
B，不合题意；
当a=1时，AB，符合题意；
当a>1时1≤x≤a，要AB，则1<a<3。
综上，符合条件的a∈[1，3)。 12分
19. 解：（1）设甲投进两球的事件为A，乙投进一次的事件为B，
事件A表示两次独立重复事件有两次发生，
即 
，
2分
事件B表示两次独立重复事件有一次必发生，
即
4分
∵″甲投进两次，乙投进一次″为事件″A•B″，
∴
答：甲投进两次，乙投进一次的概率为0.1512 6分
（2）设两人得分之和为，则=0，2，4，
7分
；
；
∴的分布列为：
|
| 0 | 2 | 4 |
| P | 0.12 | 0.46 | 0.42 |
10分
的期望为
12分
20．解：（1）∵
2分
∵在x=2时有极值，则x=2时，y’=0
∴4a+b+4=0① 4分
∵图象上的横坐标为x=1处的点切线与直线3x+y+5=0平行
∴
，即2a+b+2=0②
6分
由①②得：a=-1,b=0
∴
，
设
故该函数的单调区间是（0,2） 8分
（2）由（1）知该函数在（0，2）是减函数，在（2，+∞）是增函数，
当0<m<2时，f(x)在[0,m]上是减函数，
∴f(x)有最小值是
10分
当m≥2时，f(x)在[0，2]是减函数，[2,m]上是增函数，
∴f(x)有最小值是f(2)=-4 12分
21. 解：（1）设等差数列的通项为
由题得：
，
2分
解得：
4分
（2）由（1）得：
6分
∴
则
，
∵{bn}是等差数列，则
∴
8分
又∵
∴
10分
故
。
12分
22. 证明：（1）
，
整理得：
，
2分
4分
，故方程有两个不相等的实数根。
6分
令
，
7分
则
，
又
则
，
故方程
有一个根属于（x1,x2）
9分
（2）
方程在
根为m，
，
，
10分
∵
、x2成等差数列，则
12分
∴b=
,
10分
故
。
14分