高考复习普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（文史类）

2006年普通高等学校招生全国统一考试

上海卷　 数学（文史类）

考生注意：

1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．

2．本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．

一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空填对得4分，否则一律得零分。

1、已知，集合，若,则实数。

2、已知两条直线若，则____.

3、若函数的反函数的图像过点，则。

4、计算：。

5、若复数满足（为虚数单位），其中则。

6、函数的最小正周期是_________。

7、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是____________________.

8、方程的解是_______.

9、已知实数满足，则的最大值是_________.

10、在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______（结果用分数表示）。

11、若曲线与直线没有公共点，则的取值范围是_________.

12、如图，平面中两条直线和相交于点，对于平面上任意一点,若分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是____________.

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。

13、如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是　　　　　　 （　 ）

（A）　　　　　　（B）

（C）　　　 （D）

14、如果，那么，下列不等式中正确的是（　）

（A）　　　　　  （B）

（C）　　　　　  （D）

15、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　）

（A）充分非必要条件　　　　　 （B）必要非充分条件

（C）充分必要条件　　　　　　 （D）既非充分又非必要条件

16、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是

（A）48　　　　　（B） 18　　　　　　  （C） 24　　　　　　 （D）36

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17、（本题满分12分）

已知是第一象限的角，且，求的值。

18、（本题满分12分）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援（角度精确到）？

19、（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

在直三棱柱中，.

（1）求异面直线与所成的角的大小；

（2）若与平面S所成角为，求三棱锥的体积。

20、（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。设数列的前项和为，且对任意正整数，。

（1）求数列的通项公式

（2）设数列的前项和为,对数列，从第几项起？

21、本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。

22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。

已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。

（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值。

（2）设常数，求函数的最大值和最小值；

（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由。

上海数学(文史类)参考答案

一、(第1题至笫12题)

1. 4　 2. 2　 3. 　 4. 　 5. 3　　6.π　　7.

8. 5　 9. 0　 10.　 11.－1<b<1　 12. 4

二、(第13题至笫16题)

13. C　　14. A　　15. A　　16. D

三、(第17题至笫22题)

17.解：=

　 由已知可得sin,

  ∴原式=.

18.解：连接BC,由余弦定理得BC²=20²+10²－2×20×10COS120°=700.

　　 于是,BC=10.

　　 ∵,　  ∴sin∠ACB=,

　　 ∵∠ACB<90°　　　　　 ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

19.解：(1) ∵BC∥B₁C₁, ∴∠ACB为异面直线B₁C₁与AC所成角(或它的补角)

　　 ∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,

　　 ∴异面直线B₁C₁与AC所成角为45°.

　　 (2) ∵AA₁⊥平面ABC,

∠ACA₁是A₁C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=,

∴AA₁=.

∴三棱锥A₁-ABC的体积V=S_△ABC×AA₁=.

20.解(1) ∵a_n+ S_n=4096, ∴a₁+ S₁=4096, a₁ =2048.

　　 当n≥2时, a_n= S_n－S_n－1=(4096－a_n)－(4096－a_n－1)= a_n－1－a_n

 ∴=　　 a_n=2048()^n－1.

　　 (2) ∵log₂a_n=log₂[2048()^n－1]=12－n,

　　 ∴T_n=(－n²+23n).

　　 由T_n<－509,解待n>,而n是正整数,于是,n≥46.

　　 ∴从第46项起T_n<－509.

21.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.

　　 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x₀,y₀),

由	x=	得	x0=2x－1
	y=		y0=2y－

由,点P在椭圆上,得,

∴线段PA中点M的轨迹方程是.

(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S_△ABC=1.

当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,

解得B(,),C(－,－),

则,又点A到直线BC的距离d=,

∴△ABC的面积S_△ABC=

于是S_△ABC=

由≥－1,得S_△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.

∴S_△ABC的最大值是.　　

22.解(1) 由已知得=4, ∴b=4.

　　 (2) ∵c∈[1,4], ∴∈[1,2],

　　 于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.

f(1)－f(2)=,

当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+；

当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.

(3)设0<x₁<x₂,g(x₂)－g(x₁)=.

　　 当<x₁<x₂时, g(x₂)>g(x₁), 函数g(x)在[,+∞)上是增函数；

　　 当0<x₁<x₂<时, g(x₂)>g(x₁), 函数g(x)在(0, ]上是减函数.

　 当n是奇数时,g(x)是奇函数,

函数g(x) 在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数.

　 当n是偶数时, g(x)是偶函数,

　 函数g(x)在(－∞,－)上是减函数, 在[－,0]上是增函数.