广东省2006届高三年级五校联考
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考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一
选择题（每小题5分，共10小题，共50分） 把答案涂在答题卡上
1．设
，
，则
是
成立的
（ ）
A．充分条件，但不是必要条件； B．必要条件，但不是充分条件；
C．充分且必要条件；
D．既不充分又不必要条件
2．已知
，
，且
与
平行，则
（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．
3．函数
是
（ ）
A．周期为
的奇函数；
B．周期为的偶函数；
C．周期为
的奇函数；
D．周期为的偶函数
4．已知
，则
=
（ ）
A．―1；
B．2；
C．；
D．―1或2
5．若
是各项为正的等比数列,且公比
,则
与
的大小关系是
（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．不确定
6．设全集
是实数集
，
，
，则图中阴影部分所表示的集合是
（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．
7．若
，则
的值等于
（ ）
A．
；
B．
； C．
；
D．
8．若是等差数列，
是其前
项和，
，
，则
，
，
，…，中最小的是
（ ）
A．
；
B．
； C．
； D．
9．设
是定义在实数集上以2为周期的奇函数，已知
时，
，则在
上
（ ）
A．是减函数，且
； B．是增函数，且；
C．是减函数，且
； D．是增函数，且
10．在△
中，
，下列关系式中正确的是
（ ）
A．
；B．
；
C．
；D．
2006 届 高 三 年 级 五 校 联 考
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第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）
11．已知函数
，则
12 将函数
的图象按向量
（其中，
）平移后与
的图象重合,则向量坐标
,
13．已知
且
，
，当
时，均有
，则实数
的取值范围是
14．设函数
，给出下列四个论断：
①它的周期为；②在区间
上是增函数；③它的图象关于点
成中心对称；④它的图象关于直线
对称
请以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出一个你认为正确的命题：
（请用如下形式答题：①②
③④）
三 解答题：（共6小题，共80分）
15．（本小题满分12分）若A B C是△ABC的内角，cosB＝, sinC＝,
求cosA的值
16．（本小题满分12分）
已知数列
满足： 
，
求证：数列是等比数列，并求其通项公式
17 （本小题满分14分）已知函数：
（Ⅰ）求函数的最大值和最小值；
（Ⅱ）
时，求函数 满足
的x的集合
18 （本小题满分14分）设函数
（Ⅰ）当
求函数满足
时的的集合；
（Ⅱ）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数
19 （本小题满分14分）已知：f(x)＝
,数列{
}的前n项和记为,点
(,
)在曲线y＝f(x)上(n∈N+)，且
， 
（I）求数列{}的通项公式;
（II）求证：
（Ⅲ）数列{
}的前n项和为
，且满足： 
设定
的值，使得数列{}是等差数列
20 （本小题满分14分）若定义在区间D上的函数
对于区间D上的任意两个值
总有以下不等式
成立，则称函数为区间D上的凸函数;
（1）证明：定义在R上的二次函数
是凸函数；
（2）对于（1）中的二次函数，
若
,求
取得最大值时函数的解析式；
（3）定义在R上的任意凸函数
,
若
，证明：
广东省2006届高三五校联合考试
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考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一 选择题（每小题5分，共10小题，共50分），把答案涂在答题卡上
1．（ A ）2．（ C ）3．（ D ）4．（ B ）5．（ A ）
6．（ C ）7．（ B ）8．（ B ）9．（ D ）10．（ B ）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）
11．
12 
1
13． 
14． ①④②③或 ①③②④
三 解答题：（共6小题，共74分）
15．（本小题满分12分）若A B C是△ABC的内角，cosB＝, sinC＝,
求cosA的值
解：∵ cosB＝, ∴sinB＝
, 又sinC＝, cosC＝±, …………4分
若cosC＝－, 则角C是钝角,角B为锐角,π－C为锐角,而sin(π－C)＝,
sinB＝, 于是： sin(π－C)< sinB……（5分）
∴ B >π－C, B＋C>π,矛盾,
∴ cosC≠－ , …………7分
cosC＝,…………8分
故：cosA＝－cos(B＋C)＝－(cosBcosC－sinBsinC)＝
, …………12分
（说明：本题如果没有去掉cosC＝，扣3分）
16．（本小题满分12分）
已知数列满足： ， 求证：数列是等比数列，并求其通项公式
16 解：
依题意得：
…………2分
（n=1,2,…）…………5分
…………8分
故数列是等比数列 …………10分
…………12分
17 （本小题满分14分）已知函数：
（Ⅰ）求函数的最大值和最小值；
（Ⅱ）当θ=
时，求函数 满足的x的集合
17． 解：（Ⅰ）
] ………………2分
……（4分）
= 
……………6分
………………8分
（Ⅱ）由y =
……………………12分
…………14分
18 （本小题满分14分）设函数
（Ⅰ）当求函数满足时的的集合；
（Ⅱ）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数
18．解：（Ⅰ）当
,化为
……（3分）
故，满足（Ⅰ）条件的集合为
……（5分）
（Ⅱ）在区间
上任取
，则
……（7分）
……（8分）
因
故
，又在上
,
……（10分）
∴只有当
时，即
时
才总有
, ……（12分）
∴当时,在上是单调减函数 (14分)
说明：本题若令
求出，没有考虑的充分性扣2分
19 （本小题满分14分）已知：f(x)＝,数列{}的前n项和记为,点(,)在曲线y＝f(x)上(n∈N+)，且，
（I）求数列{}的通项公式;
（II）求证：
（Ⅲ）数列{}的前n项和为，且满足：
设定的值，使得数列{}是等差数列
19 解：（Ⅰ）由于y＝
∵点An(,)在曲线y＝f(x)上(n∈N+)
∴= f()= 
, 并且 ……（2分）
， 
∴数列{
}为等差数列，并且首项为
=1，公差为4 ……（4分）
∴=1+4（n—1） ，
∴
∵ ，
∴
……（5分）
（II）
……（8分）
……（10分）
（Ⅲ）由 ，
得：
……（12分）
，如果
，此时
……（13分）
，
此时，数列{}是等差数列 ……（14分）
20 （本小题满分14分）若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的凸函数 ；
（1）证明：定义在R上的二次函数是凸函数；
（2）对于（1）中的二次函数，
若,求取得最大值时函数的解析式；
（3）定义在R上的任意凸函数,
若
，证明：
20 证明：（1）任取x1 x2
R,则
2f(
)－[f(x1)+f(x2)]
=2[a()2 + b+c] －[a x12+bx1+c] － [a x22+bx2+c]
=
[(x1+x2)2－2(x12+x22)]=
－(x1－x2)2
……（2分）
a<0
2f()－[f(x1)+f(x2)] 
0
由定义得 y = f(x)是R上的凸函数 ……（4分）
（2）
解得
……（5分）
f(4)=16a+4b+c=f(1)-3f(2)+3f(3)
f(1)+3f(2)+3f(3)
f(1) 1，f(2) 2,f(3) 3
f(4) f(1)+3f(2)+3f(3) 16 ……（6分）
a<0时f(x)= ax2+bx+c开口向下，
当且仅当
时取等号，代入上式得
f(x)= －4x2+15x－12
……（8分）
（3） p q m n
且p<m<n<q
不妨设m = p+i, 其中i
p+q = m+n
m－p = q－n = i
由定义知，任意x1 x2R,有f(x1)+f(x2) 2f() ……（9分）
取x1 =
p x2 = p+2则有f(p)+f(p+2) 2f(p+1)
变形得f(p) －f(p+1) f(p+1) － f(p+2)
同理有 f(p+1) －f(p+2) f(p+2) － f(p+3)
f(p+2) －f(p+3) f(p+3) －f(p+4)
f(p+4) －f(p+5) f(p+5) － f(p+6)
… …
f(p+k-2) － f(p+k－1) f(p+k－1) －f(p+k)
累加求和得：f(p)－f(p+k－1) f(p+1) －f(p+k)
即 f(p)+ f(p+k) f(p+1)+ f(p+k－1) ……（11分）
递推i次得
f(p)+ f(p+k) f(p+1)+ f(p+k－1) f(p+2)+f(p+k－2) …
f(p+i)+f(p+k－i)
f(p)+ f(p+k) f(p+i)+f(p+k－i)
令p+k = q,得f(p)+f(q) f(p+i) + f(q－i)
m－p = q－n = i
f(p)+f(q) f(m)+f(n)
……（14分）