冀州中学2006届第一次诊断考试
数学（理工农医类） 2005.12.28
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
1．答第Ⅰ卷前，请务必将自己的姓名、准考证号、考试科目，用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在考题卷上。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
。
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为
一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，则
（A）{5} （B）{0，3} （C）{0，2，3，5} （D） {0，1，3，4，5}
2．求复数
（A）
（B）
（C）
（D）
3．已知
是锐角，那么下列各值中，
能取到的值是
（A）
（B）
（C）
（D）
4．若命题甲的逆命题是乙，命题甲的否命题是丙，则命题乙是命题丙的
（A）逆命题 （B）逆否命题 （C）否命题 （D）否定
5．函数
的定义域为
（A）
（B）
（C）（1，3） （D）[1，3]
6．已知直线m、n，平面
，则
的一个充分不必要条件为
（A）
（B）
（C）
（D）
7．设
，不等式
的解集是
，则
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
8．等差数列
中，若
，则
的值为：
（A）10 （B）11 （C）12 （D）14
9．
的图象是：
（A）关于原点成中心对称
（B）关于
轴成轴对称
（C）关于点
成中心对称
（D）关于直线
成轴对称
10．在R上定义运算
：xy=x(1－y).若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x成立，则
A．－1<a<1 B．0<a<2 C．
D．
11．在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
（A）
（B）
（C）
（D）
12. 定义在R上的偶函数
满足
，且在[－3，－2]上是减函数，
是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
冀州中学2006届第一次诊断考试
数学（理工农医类） 2005.12.28
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内项目填写清楚。
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| 第Ⅰ卷 | 第Ⅱ卷 | 总分 | 总分人 | ||||||
| 题号 | 一 | 二 | 三 | |||||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||||
| 得分 |
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| 得分 | 评卷人 |
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二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在试题的横线上）
13．若
，则常数
的值分别为
。
14．函数
的图象F按向量a
平移到G，则图象G的函数解析式为
。
15．在
的展开式中，常数项是
。
16．已知函数
．给出下列命题：①必是偶函数；②当
时，的图像必关于直线x＝1对称；③若
，则在区间
上是增函数；④有最大值
． 其中正确的序号是________。
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
| 得分 | 评卷人 |
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17．（本题满分12分）
在教室内有10个学生，分别佩带着从1号到10号的校徽，任意取3人记录其校徽的号码。
（1）求最小号码为5的概率。
（2）求3个号码中至多有一个是偶数的概率。
（3）求3个号码之和不超过9的概率。
| 得分 | 评卷人 |
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18．（本题满分12分）
在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，
设
，
（1）若
，且B－C=
，求角C.
（2）若
，求角C的取值范围.
| 得分 | 评卷人 |
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19．（本题满分12分）
已知数列
的前n项和为
（1）用k、n表示
；
（2）数列
对于任意正整数n都有
，
求证：数列为等差数列；
| 得分 | 评卷人 |
|
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20．（本题满分12分）
定义在R上的函数满足
，当2≤x≤6时，
。
（1）求m ，n的值；
（2）比较
与
的大小
| 得分 | 评卷人 |
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21．（本题满分12）
已知函数
在（0，+∞）上的最小值是（n∈N+）
（1）求数列｛｝的通项公式.
（2）证明：
<
.
（3）在点列An（2n , ）中是否存在两点Ai ,Aj（
其中i, j∈N+ ），使直线AiAj的斜率为1，若存在，求出所有数对（i,
j ），若不存在，说明理由.
| 得分 | 评卷人 |
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22．（本题满分14分）
设x1，x2是函数
的两个极值点，且
。
(1)
用a表示
，并求出a的取值范围.
(2)
证明: 
.
(3)
若函数
,证明:当
且x1<0时, 
.
冀州中学2006届第一次诊断考试数学（理）参考答案
2005.12.28
一、选择题：BC ABAC BCDC BD
1．解：∵U={0，1，2，3，4，5} ，M={0，3，5}，N={1，4，5}；
故选B
2．解：
故选C
3．解：利用排除法。
，而B、D的
；
C的
，不符合有界性。
故选A
4．解：若甲：
；则乙
；则丙：
；故乙是丙的逆否命题。故选B
5．解：
故选A
6．解：当“ ”为条件时可推出结论“”成立；
当“”成立时，m与
、m与
的位置关系不确定。
故选C
7．解：
的解是：
，
则
故选B
8．解：因为数列{}为等差数列，设公差为d.
若，又因为：
而
故选C
9．解：因为
若是关于中心对称：则
，故
，所以不关于指定的点成中心对称；
若是关于轴对称：则
时，对称轴为
故选D
10．解：因定义运算：xy=x(1－y) ，所以不等式(x－a)(x+a)<1
即 
又因为对一切x都成立，所以
，即
故选C
11．解：有14名志愿者，但每天早、中、晚三班，每班4人，只需12人，所以应先从14人中选出12人，然后这12人再来分组排班。
故选B
12．解：
是偶函数，且在
上是减函数，所以在
上是增函数；
又
故
在
上是增函数；
是钝角三角形的两个锐角，
，
而
所以：
故选D
二、填空题：
13．
；
解：
，
14．
解： 
15．－252
解：
16．③
解：①不恒为偶函数；
②
，
所以
，若
关于
对称，
若
不恒关于对称；
③时，整个图象在x轴的上方（或顶点在x轴上）
，故在区间上是增函数；
④无最大值。（开口向上）
三、解答题
17．解：（1）从10人中任取3人，共有
种，最小号码为5，相当于从6，7，8，9，10共五个中任取2个，则共有
种结果.
则最小号码为5的概率为P= 
=
………………（4分）.
（2）选出3个号码中至多有一个是偶数，包括没有偶数和恰有一个偶数两种情况，共有
种.所以满足条件的概率为P=
……（8分）
（3）3个号码之和不超过9的可能结果有：
（1，2，3）、（1，2，4）、（1，2，5）、（1，2，6）、（2，3，4）、（1，3，4）、（1，3，5）
则所求概率为. P= 
=
………………（12分）.
18．解；（1）由f（1）=0，得a2－a2+b2－4c2=0， ∴b= 2c…………（1分）.
又由正弦定理，得b= 2RsinB，c=2RsinC,将其代入上式，得sinB=2sinC…………（2分）
∵B－C=，∴B=+C，将其代入上式，得sin（+C）=2sinC……………（3分）
∴sin（）cosC + cos sinC =2sinC，整理得，
…………（4分）
∴tanC=
……………（5分）
∵角C是三角形的内角，∴C=
…………………（6分）
（2）∵f（2）=0，∴4a2－2a2+2b2－4c2=0，即a2+b2－2c2=0……………（7分）
由余弦定理，得cosC=
……………………（8分）
=
∴cosC=
（当且仅当a=b时取等号）…………（10分）
∴cosC≥，
∠C是锐角，又∵余弦函数在（0，
）上递减，∴.0<C≤………………（12分）
19．解：（1）
时，
时，
…………3分
数列为等比数列， ………………4分
，……………………………………………………5分
（2）由题意知：
………………8分
即
， 故数列为等差数列。 ……………………12分
20．解：（1）∵f(x)在R上满足f (x+4)=f (x)，∴4是f(x)的一个周期.∴f (2)= f (6)…（2分）
∴
+n=
①，
又∵f (4)=31，∴
+n=31 ② ……………（4分）
联解①、②组成的方程组，得m =4，n=30…………………（6分）.
（2）由（1）知，f(x)=
+30，x∈
.
∵1<
, ∴5<
.∴f（log3 m）= f（log3 4）=f（
）
=
=
……………………………（8分）
又∵3<
，∴f（log3 n）= f（log3 30）=
=
=
…………………（10分）
∵
，∴
∴
+30，∴f（log3 m）<f（log3 n）………（12分）.
21．解：（1）由f (x)=2n
－x，得
=
……………（1分）
令 =0，得x=
……………………（2分）
当x∈（0 , ）时， <0. 当x∈（ ,+∞）时， >0.
∴f (x )在（0，+∞）上有极小值f ( ) =
.
∴数列｛an｝的通项公式an=…………………………………（5分）
（2）∵
………………………（6分）.
∴=
………………（8分）
（3）依题意，设Ai（2i , ai），Aj（2j , aj）（ 其中i, j∈N+ ）是点列中的任意两点，则经过这两点的直线的斜率是：k=
……………………（9分）
=1……………………（11分）
∴不存在这样的点列，使直线AiAj的斜率为1……………………（12分）.
22．解：（1）∵f (x ) =
x3 + 
x2–a2 x，∴f 1(x ) = a x2 + bx–a2 …………（1分）
∵x1 ，x 2是f (x )的两个极值点，∴x1 ，x 2是方程a x2 + bx–a2=0的两个实根…（2分）
∵a > 0 ，∴x1 x 2=- a2 ，x1 +x 2=
，∴︱x1︱+︱x 2︱=︱x1 - x 2 ︱=
=2，
∴
，∴b2 = 4a2 －4a3 ……………………（4分）
∵b2≥0 ，∴4a2 －4a3≥0 ，∴0<a≤1…………………………（5分）
（2）∵b2 =
4a2 －4a3
（0<a≤1），令g(a)= 4a2 －4a3 ,∴
(a ) =8 a–12a2…（6分）
由 (a) >0 ,得0<a<
, 由 (a) <0 ,得<a≤1.
∴g(a)在(0 , )上递增，在( ,1)上递减.……………………………（8分）
∴g(a)在(0 ,1)上的最大值是g()=
.
∴g(a) ≤.∴ b2≤.∴ ∣b︱≤
……（10分）
（3）∵x1 ，x 2是方程a x2 + bx–a2=0的两个实根，∴f 1(x ) = a（x–x1）（x-x 2）.
∴h(x ) = a（x–x1）（x-x 2）－2a（x–x1）= a（x–x1）（x-x 2－2）………（11分）
∴∣h(x )∣= a∣x–x1∣∣x-x 2－2∣≤
……（12分）
∵x>x1 ，∴x–x1>0. 又∵x1<0，∴x1 x 2<0 ，∴ x 2>0 .∴ x 2+2>2 .
又∵x<2，∴x－x 2－2<0 ……………………………………………（13分）
∴∣h(x )∣≤
=
.
又∵∣x1∣+∣x2∣=2,且x1<0， x 2>0 ，∴ x 2－x1=2 .
将其代入上式得∣h(x )∣≤4a.………………………………………（14分）