2005—2006学年度上学期高三年级第四次月考
数 学 试 卷 2005年12月
本试卷第Ⅰ、Ⅱ卷1～4页，答题卷5～8页，试卷满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、号码、班级填写在答题卷指定位置。
2.第Ⅰ、Ⅱ卷答案写在答题卷指定答题处，不得超出答题范围。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将所选答案填在第Ⅱ卷指定的答题栏内)
1．函数
的最小正周期是（ ）
2．若
，则下列结论不正确的是（ ）
3．已知等差数列的前n项和为Sn，若
，则S8等于（ ）
A.18 B.36 C.54 D.72
4．条件
┓p是 ┓q的（ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件 D．既不是充分条件又不是必要条件
5．设
，当
，且
时，点C在 ( )
A． 直线A B上 B．线段AB上
C． 直线AB上，但除去点A D．直线AB上，但除去点B
6．已知
≤
≤
，向量
，则
的 （ ）
A．最大值是1，最小值是－1 B．最大值是1，最小值是
C．最大值是2，最小值是－2 D．最大值是2，最小值是－1
7．过已知圆内的一个定点作圆C与已知圆相切，则圆C的圆心轨迹是（ ）。
A 圆 B 椭圆 C 圆或椭圆 D 线段
8． 函数
的图象的大致形状是 （ ）
A. B. C. D.
9．已知数列
满足
，若
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
10．经济学中的“蛛网理论”（如图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l1,“供给—价格”函数的图象为直线l2，它们的斜率分别为k1、k2，l1与l2的交点P为“供给—需求”均衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P，与直线l1、 l2的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P的条件为 （ ）
 |
A.k1+k2>0 B.k1+k2=0 C.k1+k2<0 D.k1+k2可取任意实数
二、填空题：（(本大题共5个小题，每小题4分，共20分，把正确答案填在题中所给横线上。)
11．已知双曲线的渐近线方程是y＝±x，焦点在坐标轴上，焦距是10，则它的方程为
。
12．在算式“4×□+1×□=6”的两个□中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为 。
13．设双曲线
的右准线与两渐近线相交于A、B两点，F为右焦点，以AB为直径的圆恰过点F，则双曲线的离心率为 ；
14．不等式组
，表示的平面区域的面积是
；
15．函数
，它的最小正周期为
，且其图像关于直线
对称，则在下面四个结论中：①图像关于点（
对称；②图像关于点
对称；③它可以由函数
图象上所有点向左平移
个单位,横坐标不变,纵坐标向下平移1个单位而得到；④在[
上是增函数.所有正确结论的序号为
.
第Ⅱ卷(选择题，共80分)
三、解答题：（共6小题，80分. 解答须写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）
16．已知
、
、
三点的坐标分别为
、
、
，
，
（I）若
，求角
的值；
（II）若
，求
的值。(12分)
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝1(n∈N＊)。
⑴求数列{an}的通项公式；
⑵若数列{bn}满足
,求
的值。（12分）
18．已知定义域为[0，1]的函数
同时满足：（1）对于任意
（2）
（3）若
（Ⅰ）试求
的值； （Ⅱ）试求函数的最大值； （Ⅲ）若对于任意
总有
，求实数
的取值范围。（14分）
19．某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药片预防，规定每人每天上午
时和晚上
时各服一片。现知该药片每片含药量为
毫克，若人的肾脏每
小时从体内滤出这种药的
，该药物在人体内的残留量超过
毫克，就将产生副作用。
（Ⅰ）某人上午时第一次服药，问到第二天上午时服完药后，这种药在他体内还残留多少？
（Ⅱ）若人长期服用这种药，这种药会不会对人体产生副作用？说明理由。（12分）
20．抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，如右图所示，今有抛物线
，一光源在点
处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后，又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线
上的点N，再反射后又射回点M。
（1）设P、Q两点的坐标分别是
，
证明：
。
（2）求抛物线方程。（14分）
21．以O为原点，
所在直线为
轴，建立如 所示的坐标系。设
，点F的坐标为
，
，点G的坐标为
。
（1）求
关于
的函数
的表达式，判断函数
的单调性，并证明你的判断；
（2）设ΔOFG的面积
，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G，求当
取最小值时椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，若点P的坐标为
，C、D是椭圆上的两点，且
，求实数
的取值范围。（16分）
2005—2006学年度上学期高三年级第四次月考
数 学 答 案
BDDAA DCDBA
11．
12．1，2 13．
14．24 15. ③④
16．解：（1）
，
（………………………3分）
由得
又
（…………6分）
（2）由，得
（…………………9分）
又=
所以，=
。
（………………12分）
17．解：⑴由an＋Sn＝1，∴an＋1＋Sn＋1＝1，两式相减，∴an＋1－an＋Sn＋1－Sn＝0，∴2an+1＝an，∴数列{an}是公比为的等比数列。………………………………………3分
又n＝1时，a1+S1＝1，∴a1＝，∴an＝a1qn－1＝·()n－1＝()n。…………………6分
⑵∵
，当
时，
当
，
则
12分
18．解：（Ⅰ）对于条件③，令
又由条件①知
故
（4分）
（Ⅱ）设
，则
即
故在[0，1]上是单调递增的
从而的最大值是
（8分）
（Ⅲ）因在
上是增函数，则
，
又（
对恒成立，
设
则
（14分）
19．解：（Ⅰ）设人第
次服药后，药在体内的残留量为
毫克，则
，
，
，即到第二天上午时服完药后，这种药在他体内还残留
毫克； （6分）
（Ⅱ）由题意：
，∴
，
∴
是以
为首项，
为公比的等比数列，
∴
，（10分）
∵
，∴
，∴
。故若人长期服用这种药，这种药不会对人体产生副作用。（14分）
20．解（1）由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点
，设
，代入抛物线方程得：
，
（6分）
（2）设
，由题意知
，又设
是点M关于直线l的对称点，则有：
，
，
由对称性质知
，代入直线l的方程得
（或利用到角公式得
，求出
）。由
，则
，又P，F，Q三点共线得P=2。抛物线方程为
。（14分）
21．解（1）由题意知
，则
函数在
是单调递增函数。（证明略）（5分）
（2）由
，点G
，
因
在上是增函数，当
时，取最小值，此时
，
依题意椭圆的中心在原点，一个焦点F（3，0），设椭圆方程为
，由G点坐标代入与焦点F（3，0），可得椭圆方程为：
（10分）
（3）设
，则
，
由
，
，
因点C、D在椭圆上，代入椭圆方程得，
，消去
，
得
，又
，
则实数的取值范围为
。（16分）