北 京 四 中
2005年数学第三次统测（理科）
一、选择题：（每小题5分）
1. 在正实数集上定义一种运算*：当
时，a*b=b3：当
时，a*b=b2。根据这个定义，满足3*x=27的x的值为（ ）
A．3 B．1或9 C．1或
D．3或
2. 函数
的部分图象大致是（ ）
A. B. C. D.
3. 在
的展开式中，含
项的系数是首项为－2公差为3的等差数列的（ ）
A．第13项 B．第18项 C．第11项 D．第20项
4. 若将函数
的图象按向量
平移，使图象上点P的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后图象的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（ ）
A．
B． 
C． 
D． 
6. 已知函数
在点
处连续，则
的值是（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－4
7. 已知
，
，点C在坐标轴上，若
，则这样的点C的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8. 设数集
，
，且
都是集合
的子集，如果把
叫做集合
的“长度”，那么集合
的“长度”的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：（每小题5分）
9. 若
（m∈R+）是纯虚数，则
的值为_____，
的虚部是_____.
10. 在数列
中，若
且对任意
有
则数列前
项的和为_____，前
项和最小时的等于_____.
11. 若
，则目标函数
的取值范围是_____.
12. 向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且a=2，b=4，则a与b夹角的余弦值等于_____.
13. 已知P是抛物线
上的动点，定点A（0，-1），若点M分
所成的比为2，则点M的轨迹方程是
_____，它的焦点坐标是_________．
14. 若定义在区间D上的函数
对于D上的任意n个值
，总满足
，则称为D上的凸函数. 现已知
在
上是凸函数，则锐角
中，
的最大值是_________．
答 案
一、选择题：（每小题5分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 |
|
|
|
|
|
|
|
|
二、填空题：（每小题5分）
| 9 |
|
| 10 |
|
| |||
| 11 |
| 12 |
| |||||
| 13 |
|
| 14 |
| ||||
三、解答题
15. （本小题满分13分）
矩形ABCD，AB=4，BC=3，E为DC中点，沿AE将ΔAED折起，使二面角D-AE-B为60°。
(I)求DE与平面AC所成角的大小；
(II)求二面角D-EC-B的大小。
16. （本小题满分13分）
甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格。
（1） 求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少？
（2） 求乙答对试题数
的概率分布及数学期望。
17. （本小题满分14分）
设函数
在
时取得极值.
（1）试确定
的值；
（2）求的单调区间.
18. （本小题满分14分）
已知函数
.
（1） 求的值，使点
到直线
的距离最短为；
（2） 若不等式
在
恒成立，求的取值范围.
19. （本小题满分13分）
直线
与曲线
交于
（异于原点
）；过且斜率为
的直线与曲线交于
（异于）；过且斜率为
的直线与曲线交于
（异于）,……, 过
且斜率为
的直线与曲线交于
（异于）,……。设坐标为
,（
）.
（Ⅰ）求
和
的表达式；
（Ⅱ）判定
是否存在，若存在，求它的值；若不存在，说明理由.
20. （本小题满分13分）
已知
为椭圆
和双曲线
的公共顶点，
分别为双曲线和椭圆上不同于的动点，且有
，设
的斜率分别是
.
（1）求证
；
（2）设
分别为双曲线和椭圆的右焦点，若
∥
，求
的值.
答案
一、选择题：（每小题5分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 答案 | D | C | D | C | C | B | C | C |
二、填空题：（每小题5分）
| 9 |
| -8 | 10 |
| 4或5 | |||
| 11 | [8，14] | 12 |
| |||||
| 13 | y=6x2-1(x≠0) |
| 14 |
| ||||
15．如图1，过点D作DM⊥AE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DM⊥AE，MN⊥AE保持不变，翻折后，如图2，∠DMN为二面角D-AE-B的平面角，∠DMN=60°，AE⊥平面DMN，又因为AE
平面AC，则平面AC⊥平面DMN。
(I)在平面DMN内，作DO⊥MN于O，
∵平面AC⊥平面DMN，
∴DO⊥平面AC。
连结OE，DO⊥OE，∠DEO为DE与平面AC所成的角
如图1，在直角三角形ADE中，AD=3，DE=2，
，
。
如图2，在直角三角形DOM中，DO=DM·sin60°=
,
在直角三角形DOE中，
，则
。
∴DE与平面AC所成的角为
。
(II)如图2，在平面AC内，作OF⊥EC于F，连结DE，
∵DO⊥平面AC，∴DF⊥EC，∴∠DFO为二面角D-EC-B的平面角。
如图1，作OF⊥DC于F，则RtΔEMD∽RtΔOFD，
，∴
。
如图2，在RtΔDOM中，OM=DMcos∠DMO=DM·cos60°=
.
如图1，DO=DM+MO
。
在RtΔDFO中，
，
∴二面角D-EC-B的大小为
。
16. 解：（1）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B
则
（2）乙答对试题数ξ的可能值为1，2，3
则
∴ξ的概率分布为
| ξ | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
17．（１）
∵f(x)在x1=1，x2=2时取得极值
∴ 
（2）由（1）可得：
令
∴ x<0或1<x<2
∵ 
∴ 1<x<2
∴ f(x)的单调增区间为（1，2），减区间是（0，1）和（2，+
）
18. 解：（1）由题意得M到直线x+y-1=0的距离
令
解得a=3或a=-1（舍去）
∴a=3
（2）由
得
也就是
令
即at2-2t+a2≤0在t∈[1，2]上恒成立
设
，则要使上述条件成立，只需
解得
即满足题意的a的取值范围是
19．解：（Ⅰ）由已知
，
设
，其中
，
解
（注意到
）得
，
x1=1
于是，
；
；
；
猜测 
当
时，
，猜测正确，
假设当
时，成立，即
那么，当
时，
综上所述，.
（Ⅱ）
.
所以，
.
20. 解：（1）A（-a，0），B（a，0），设P（x1，y1）Q（x2，y2）
则
（2）
由（1）
又P在双曲线上
同理
