2006年绍兴一中高三年级第二次调研考试
数学（理科） 2006．5
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S侧面=
如果事件A、B相互独立，那么 其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率
V球= 
是p，那么n次独立重复试验中恰好发生 其中R表示球的半径
k次的概率 
第I卷(选择题，共50分)
一.选择题：（本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
）
1、在复平面内，复数
（
为虚数单位）所对应的点位于
( )
A．第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D.第四象限
2、 设两个非零向量
不共线，且
共线，则k的值为( )
A．1 B．
C．
D．0
3、已知函数
的图象与函数
的图象关于
直线
对称，则
的值为( )
A
1
B
C
2
D
4、已知实数
、
满足约束条件
,则
的最大值为 ( )
A. 24 B. 20 C. 16 D. 12
5、设f(x)为R上的奇函数, 且f(x+2)= f(x), 则f(1)+ f(2)+ f(3)+…+ f(2006)的值是( )
A -1 B 0 C 1 D 2006
6、已知
则（ ）
A
B
C
D
7、若sin2x>cos2x, 则x的取值范围是 ( )
A｛xkπ-
< x< kπ+, k∈Z｝ B ｛x2kπ-< x< 2kπ+, k∈Z｝
C｛x2kπ-< x< 2kπ+
, k∈Z｝ D｛xkπ+< x< kπ+, k∈Z｝
8、已知
，则“
”是“
”成立的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9、某博物馆要在20天内接待8所学校的学生参观，每天至多安排一所学校，其中一所人数较多的学校要连续参观3天，其余学校均只参观1天，则在这20天内不同的安排方法数是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
10、直线l 交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点, 椭圆与y正半轴交于B点, 若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上, 则直线l的方程是 ( )
A 5x+6y-28=0 B 5x-6y-28=0
C 6x+5y-28=0 D 6x-5y-28=0
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题纸中的横线上。）
11、一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测的刹车后
秒内列车前进的距离为
米，则列车刹车后 秒车停下来.
12、an是(1+x)n展开式中含x2的项的系数, 则
(
)=
13、如图，在长方体
中，AB=6，AD=4，
.分别过BC、
的两个平行截面将长方体分成
三部分，其体积分别记为
,
.若
,则截面
的面积为
14．将给定的25个数排成如右图所示的数表，若
每行5个数按从左至右的顺序构成等差数列，每列
的5个数按从上到下的顺序也构成等差数列，且表
正中间一个数a33＝1，则表中所有数之和为
2006年绍兴一中（分校）高三年级第二次调研考试答卷
数学（理科） 2006．5
一。选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
二．填空题（每小题4分，共16分）
11. ； 12。 ；
13. ； 14. ；
三．解答题：本大题6小题，每小题满分14分，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．设
=（sinx－1，cosx－1），
=（
，）.
（1）若为单位向量，
，求x的值；
（2）设
，则函数
的图象是由y=sinx的图象按
平移而得，求.
16. 甲、乙两个篮球队进行比赛每场比赛均不出现平局，而且若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设甲、乙在每场比赛中获胜的概率都是
（1）求需要比赛场数ξ的分布列及数学期望Eξ；（2）如果比赛场馆是租借的，场地租金200元，而且每赛一场追加服务费32元，那么举行一次这样的比赛，预计平均花销费用多少元钱？
17、如图，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且
G是EF的中点，（Ⅰ）求证平面AGC⊥平面BGC；（Ⅱ）求GB与平面AGC所成角的正弦值.
|
18、已知数列{an}的各项均为正数且a1 = 6，点
在抛物线
上；数列{bn}中，点
在过点(0，1)且方向向量为(1，2)的直线上
(1)求数列{an}
{bn}的通项公式；
(2)对任意正整数n，不等式
≤
…
成立，求正数a的取值范围
19、如图，在面积为18的△ABC中，AB=5，双曲线E过点A，且以B、C为焦点，已知
（Ⅰ）建立适当的坐标系，求双曲线E的方程；
（Ⅱ）是否存在过点D（1，1）的直线l，使l与双曲线E交于不同的两点M、N，且
如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由
 |
·
20、已知过函数f（x）=
的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。（1）求a、b的值；（2）求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1989对于x∈[－1，4]恒成立；（3）令
。是否存在一个实数t，使得当
时，g（x）有最大值1？
2006年绍兴一中高三教学质量检测
数 学(理)
参考答案
一、选择题：（本题每小题5分，共50分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | A | C | D | B | B | C | D | A | C | D |
二、填空题：（本题每小题4分，共16分）
11． 30 12．2 13.4
14．25
三、解答题（本大题6小题，共84分
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15、解答： （1）∵=1，∴（sinx－1）2+（cosx－1）2=1，
即sinx+cosx=1，
sin（x+
）=1，
…………4分
sin（x+）=，又 ∴x=0或
………………7分
（2）∵·=sin（x+）－.
∴
=sin（x+）－，
………………10分
由题意得=（－，－）.
………………14分
16、解：（1）根据题意ξ的取值应是4，5，6，7
“ξ=4”表示甲胜4场或乙胜4场 ∴P（ξ=4）=2
；(2分)
“ξ=5”表示甲胜第5场且前4场中胜3场，或乙胜第5场且前4场中胜3场
∴P（ξ=5）=
；（4分）
“ξ=6”表示甲胜第6场且前5场中胜3场，或乙胜第6场且前5场中胜3场
∴P（ξ=6）=
；（6分）
“ξ=7”表示甲胜第7场且前6场中胜3场，或乙胜第7场且前6场中胜3场
∴P（ξ=7）=
； （8分）
因此随机变量ξ的分布列为
| ξ | 4 | 5 | 6 | 7 |
| P |
|
|
|
|
并且Eξ=4×
+5×
+6×
+7×=
（10分）
（2）用随机变量η表示举行一次这样比赛的所需费用，则根据条件，知η=32ξ+200，
由于Eξ=
，所以Eη=E（32ξ+200）=32Eξ+200=386.
因此举行一次这样的比赛所需费用平均为386元. （14分）
17、（Ⅰ）证明：正方形ABCD
∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，
∴CB⊥面ABEF ∵AG，GB
面ABEF， ∴CB⊥AG，CB⊥BG
又AD=2a，AF= a，ABEF是矩形，G是EF的中点，
∴AG=BG=
，AB=2a， AB2=AG2+BG2，∴AG⊥BG ∵CG∩BG=B ∴AG⊥平面CBG 而AG面AGC， 故平面AGC⊥平面BGC …………5分
（Ⅱ）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC内作BH⊥GC，垂足为H，则BH⊥平面AGC， ∴∠BGH是GB与平面AGC所成的角
∴在Rt△CBG中
又BG=
，
∴
……………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，BH⊥面AGC 作BO⊥AC，垂足为O，连结HO，则HO⊥AC，
∴
为二面角B—AC—G的平面角 在
在Rt△BOH中， 
即二面角B—AC—G的大小为
………………14分
18、 (1)解：将点代入中得
即
∴
3分
过点(0，1)且方向向量为(1，2)的直线为
∴
6分
(2) 对任意正整数n，不等式≤…
成立
即a≤
…对任意正整数n成立 8分
记
…
则
12分
∴
，即f (n)递增
故
，∴0＜a≤
14分
19、 解：（Ⅰ）以BC所在直线为x轴，线段BC的中点O为原点，线段BC的中垂线为y轴建立坐标系如图
设
…………2分
|
两式平方相加，得m=9 ………………4分
又
两式平方相加，得
………………6分
设双曲线的方程为 
由双曲线的定义，
有2a=AC－AB=m－5=4，即a=2 又2c=
，即
∴b2=c2－a2=9 ∴双曲线E的方程为
……8分
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l，使l与双曲线E交于不同两点M、N，
并设
由
知点D是线段MN的中点，
∴
…………10分
由于点M、N都在双曲线E上，
∴
将两式相减，得
此时直线l的方程为 
……12分
但由
∴不存在满足条件的直线l ………………14分
20、解：（1）
=
…………2分
依题意得k=
=3+2a=－3， ∴a=－3
，把B（1，b）代入得b=
∴a=－3，b=－1 …………4分
（2）令=3x2－6x=0得x=0或x=2
∵f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3
f（－1）=－3，f（4）=17
∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17
要使f（x）≤A－1989对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1989
∴A≥2006。 …………8分
（1）
已知g（x）=－
∴
∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0，
①
当t＞3时，t－3x2＞0，
∴g（x）在
上为增函数，
g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）…………10分
②
当0≤t≤3时,
令
=0,得x=
列表如下:
| x | （0, |
|
|
|
| ＋ | 0 | － |
| g（x） | ↗ | 极大值 | ↘ |
g（x）在x=处取最大值－
＋t=1
∴t=
=
＜3
∴x=＜1
③当t＜0时，＜0，∴g（x）在上为减函数，
∴g（x）在上为增函数，
∴存在一个a=，使g（x）在上有最大值1。…………14分