高考复习试题之八圆锥曲线方程

高三单元试题之八圆锥曲线方程

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．  AB是抛物线y²＝2x的一条焦点弦，AB=4，则AB中点C的横坐标是(　)

A．2　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　　 D．

2．⊙O₁与⊙O₂的半径分别为1和2，O₁O₂=4，动圆与⊙O₁内切而与⊙O₂外切，则动圆圆心轨迹是(　)

A．椭圆　　　　　　　　B．抛物线　　　　　　　　　 C．双曲线　　　　　　　　　 D．双曲线的一支

3．双曲线tx²－y²－1＝0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，则双曲线的离心率为（　　）

A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　 C． 　　　　　　　　　　 D．

4．P是以F₁、F₂为焦点的椭圆上一点，过焦点F₂作∠F₁PF₂外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是(　)

A．圆　　　　　　　　　　B．椭圆　　　　　　　　　　　 C．双曲线　　　　　　　　　 D．抛物线

5．若抛物线y²＝2px(p>0)与抛物线y²＝2q(x－h)(q>0)有公共焦点，则(　)

　　　 A．2h＝p－q　　 B．2h＝p+q　　　　　　　 C．2h＝－p－q　　　　D．2h＝q－p

6．  设双曲线（a，b＞0）两焦点为F_1、、F₂，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F₁作∠F₁QF₂的平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹是　 (　)

A．椭圆的一部分；　　　　　　　　 　 B．双曲线的一部分；

C．抛物线的一部分；　　　　　　　 　　D．圆的一部分

7．方程所表示的曲线为(　)

A．焦点在x轴上的椭圆　　　　　　　　　　　　　B．焦点在y轴上的椭圆

C．焦点在x轴上的双曲线　　　　　　　　　　　D．焦点在y轴上的双曲线

8．我国发射的“神舟四号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F₂为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，地球半径为R千米，则飞船运行轨道的短轴长为(　)

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　C．mn千米　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D．2mn千米

9．双曲线的离心率，点A与F分别是双曲线的左顶点和右焦点，B（0，b），则∠ABF等于(　　)

　 A. 45°　　　　　　　　　 B. 60°　　　　　　　　 　　　 C. 90°　　　　　　　　 　　　 D. 120°

10．设F₁，F₂是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，当△F₁PF₂的面积为1时，的值为(　　)

　　　 A．2　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　　 D．0

11．设a,b∈R，ab≠0，则直线ax－y+b=0和曲线bx²+ay²=ab的大致图形是 (　　)

　

12．下列命题正确的是（　　）

　　　 ①动点M至两定点A、B的距离之比为常数.则动点M的轨迹是圆。

　　　 ②椭圆为半焦距）。

　　　 ③双曲线的焦点到渐近线的距离为b。

　　　 ④已知抛物线y²＝2px上两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)且OA⊥OB(O为原点),则y₁y₂＝－p²。

　　　 A．②③④　　　　　　　 B．①④　　　　　　　　　 C．①②③　　　　　　　 D．①③

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13．已知圆x²+y²－6x－7=0与抛物线y²=2px（p>0）的准线相切，则抛物线的焦点坐标是　　 。

14．已知椭圆3x²+4y²=12上一点P与左焦点的距离为，则点P到右准线的距离为　　　。

15．以双曲线的右焦点为顶点，左顶点为焦点的抛物线方程是　　　　　  　。

16．若平移椭圆4(x+3)²+9y²=36，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x轴、y轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是　　　　　　　　______．

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．在△ABC中，顶点A、B、C所对三边分别为a、b、c，B（－1，0），C（1，0）且b、a、c成等差数列，求顶点A的轨迹方程。

18．如图，椭圆的左右顶点分别为A、B，P为双曲线右支上（轴上方）一点，连AP交C₁于C，连PB并延长交C₁于D，且△ACD与△PCD的面积相等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.

19．已知椭圆C的方程为（a＞b＞0），双曲线的两条渐近线为l₁．l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两交点从左到右依次为B、A（如图2－3），求的最大值及取得最大值时椭圆C的离心率e的值。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

20．(本小题满分12分)已知AB是椭圆的一条弦，M（2，1）是AB的中点，以M为焦点，以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线AB交于N（4，－1）

　　　 ⑴设椭圆和双曲线的离心率分别为时，求椭圆的方程.

　　　 ⑵求椭圆长轴长的取值范围．

21．（本小题满分12分）如图，定直线l是半径为3的定圆F的切线，P为平面上一动点，作PQ⊥l于Q，若PQ=2PF.

⑴点P在怎样的曲线上？并求出该曲线E的标准方程；

⑵过圆心F作直线交曲线E于A、B两点，若曲线E的

　　中心为O，且， 求点A、B的坐标.

22．如图，已知线段AB=4，动圆O′与线段AB切于点C，且AC－BC=2，过点A，

B分别作⊙O′的切线，两切线相交于P，且P、O′均在AB的同侧.

⑴建立适当坐标系，当O′位置变化时，求动点P的轨迹E的方程；

⑵过点B作直线交曲线E于点M、N，求△AMN的面积的最小值.

高三单元试题之八：圆锥曲线方程参考答案

一、1．C　2．D　3．B　4．A　5．A　6．D　7．C　8．A　9．C　10．D　11．B　12．C

二、13．(1,0)　14．3　15．　 16．4(x－3)²＋9(y－2)²＝36

三、17．解：∵b,a,c成等差数列，∴2a=b+c；又∵a=BC=2,∴b+c=4>a ,即AB+AC=4>BC，则顶点A 的轨迹为椭圆（除长轴顶点）。 由已知得椭圆的c′=1，a′=2，

　　　　∴椭圆方程为 则顶点A的轨迹方程为（x≠0）。

18．解：由题意得C为AP中点，设，

把C点代入椭圆方程、P点代入双曲线方程可得

解之得：

故直线PD的斜率为，直线PD的方程为

联立，故直线CD的倾斜角为90°.

19．解：设C的半焦距为c，由对称性，不妨设l₁：y=－x，l₂：y=x

由得P（，），故点P在椭圆的右准线x=上。

设点A内分有向线段的比为，由定比分点坐标公式求出点A的坐标为

，），∵点A在椭圆C上，将点A的坐标代入椭圆方程化简．整理得：

（c²+a²)²+²a⁴=a²c²(1+)²，两边同除以 a⁴，由e=得（e²+)²+²=e²(1+)²，∴²==－[（2－e²)+]+3≤－2+3=3－2=(－1)²，当且仅当2－e²=即e²=2－时，_max=－1

分别过A、B作椭圆C的右准线的垂线，垂足分别为N、M。

设PB=tPA，可得BM=tAN，∵=e，∴BM=，同理有AN=，∴BF=tAF

∴AB=BF+AF=（t+1）AF

又∵AB=PB－PA=（t－1)PA

∴（t+1)AF=(t－1)PA，∴，又∵=（∵A为的内分点）

∴=，由≤－1，解不等式≤－1，得t≤+1， ∴的最大值为+1，此时椭圆C的离心率e=

20．解：⑴①　　②

　③y₁+y₂=2  ④

⑤

①—②得…*

将③、④、⑤式代入*式，得a²=2b²,c²=b²

设椭圆的右准线为1，过N作NN′⊥1，则由双曲线定义及题设知.

解之，得.

当时，椭圆方程为此时点M（2，1）在椭圆外，不可能是椭圆弦的中点，应舍去，故所求椭圆方程为

⑵由题设知AB方程为y=-x+3，椭圆方程为x²+2y²-a²=0.

由　 得3x²-12x+18-a²=0（8分）

故椭圆长轴2a取值范围是

21．解：⑴∵F为定点，l为定直线，

　　　 ∴由椭圆第二定义可知，P点在以F为左焦点，l为左准线的椭圆上。

　　　 依题意知

　　　 ∴曲线E的标准方程为。

　　　 ⑵设

　　　

 

　　　 又∵A、B都在椭圆上，∴

　　　  

　　　  

22．⑴以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标，并设点P坐标为P(x，y)，设PA、PB分别切⊙O′于E、F，则PE=PF，AE=AC，BC=BF，

∵PA－PB=AC－BC=2，

故点P 的轨迹为以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线右支（除去与轴交点）

由题意， 故P点轨迹E的方程为：

⑵设直线l的倾斜角为q，直线l方程为y =tanq·(x－2)及x＝2，注意到q≠0，

∴直线方程可写成y·cotq＝x－2，由直线l与E交于M、N两点知

由

由y₁－y₂²=得：S_△AMN=

由，知∵函数在区间（0，－∞）上为增函数.　

∴,即时,(S_△AMN)_min=4