高三单元试题之二函数
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知函数y=f(x)(a≤x≤b)，则集合{(x,y) y=f(x),a≤x≤b}∩{(x,y)x=0}中含有元素的个数为( )
A．0 B．1或0 C．1 D．1或2
2． 设函数f(x)=logax(a>0且a≠1)满足f(9)=2，则f－1(loga2)等于( )
A．2 B．
C．
D．log2
3．
函数y=ln(1+
)，x∈(1,+∞)的反函数为( )
A．y=
，x∈(0,+∞) B．y=
，x∈(0,+∞)
C．y=，x∈(－∞，0) D．y=，x∈(－∞，0)
4．
设a>0，a≠1，函数y=
的反函数的图象关于( )
A．x轴对称 B．y轴对称 C．y=x对称 D．原点对称
5． 函数f(x)=2x－1，若a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列四个式子是成立的是( )
A．a<0,b<0,c<0 B．a<0,b≥0,c>0 C．2－a<2c D．2c+2a<2
6． 当x∈(－2，－1)时，不等式(x+1)2<logax恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[2,+∞) B．(1,2] C．(1,2) D．(0,1)
7． 函数f(x)=x2+ax－3a－9对任意x∈R恒有f(x)≥0，则f(1)＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
8． 关于x的方程ax=-x2+2x+a(a>0,且a≠1)的解的个数是( )
A．1 B．2 C．0 D．视a的值而定
9． f(x)是定义域为R的增函数，且值域为R＋，则下列函数中为减函数的是( )
A．f(x)+ f(－x) B．f(x)－f(－x) C．f(x)·f(－x) D．
10．f(
)是定义在区间[－c,c]上的奇函数，其图象如图所示：令g(x)=af(x)+b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是( )
|
B．若a=－1，－2<b<0,则方程g(x)=0有大于2的实根．
C．若a≠0,b=2,则方程g(x)=0有两个实根．
D．若a≥1,b<2,则方程g(x)=0有三个实根．
11．设lg2x－lgx2－2＝0的两根是a、b，则logab+logba的值是( )
A．－4 B．－2 C．1 D．3
12．如图所示，
是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x1和x2，任意
恒成立”的只有
|
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．已知函数
的反函数
的图象的对称中心是（0，2），则a=
。
14．函数f(x)=lg(1+x2),g(x)=
，h(x)=tan2x中， 是偶函数。
15．已知
，则和
＝
。
16．设函数f(x)=
，若f(x0)>1，则x0的取值范围是 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知a>0，b>0，x∈R且M=
·
，N＝a+b，试比较M与N的大小，并说明理由。
18．已知f(x)=x2－x+k，若log2f(a)=2且f(log2a)=k(a>0且a≠1)。
⑴确定k的值；
⑵求
的最小值及对应的x值。
19．已知函数
，
（
为正常数），且函数
与
的图象在
轴上的截距相等。
⑴求的值；
⑵求函数
的单调递增区间。
20．设函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m,n，恒有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1。
⑴求证：f(0)=1，且当x<0时，有f(x)>1；
⑵判断f(x)在R上的单调性；
⑶设集合A＝{(x,y)f(x2)f(y2)>f(1)}，集合B＝{(x,y)f(ax－y+2)=1,a∈R}，若A∩B＝
，求a的取值范围。
21．如图，函数y=
x在x∈[－1,1]的图象上有两点A，B，AB∥Ox轴，点M(1,m)(m是已知实数，且m>)是△ABC的边BC的中点。
⑴写出用B的横坐标t表示△ABC面积S的函数解析式S＝f(t)；
⑵求函数S＝f(t)的最大值，并求出相应的C点坐标。
22．设y=f(x)是定义在区间[－1,1]上的函数，且满足条件：
（i）f(－1)=f(1)=0；
（ii）对任意的u,v∈[－1,1]，都有f(u)－f(v)≤u－v。
⑴证明：对任意的x∈[－1,1]，都有x－1≤f(x)≤1－x；
⑵证明：对任意的u,v∈[－1,1]，都有f(u)－f(v)≤1；
⑶在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)，且使得
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．
高三单元试题之二：函数参考答案
一、1．B 2．B 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．B 9．D 10．B 11．A 12．A
二、13．2 14．f(x),g(x) 15．500 16．(－∞,－1)∪(1,+∞)
三、17．解：
。
①
若a>b>0，则
>1，0<
<1。由指数函数的性质知
≥1,0<
≤1，∴
>1，于是N>M；
②
若a＝b>0，则＝＝1，∴＝＋＝1＋1>1，于是N>M；
③ 若0<a<b，同理有N>M。综上所述N>M。
18．解：⑴由题设有
，∴
∵a≠1，∴log2a≠0，由②得log2a－1＝0，∴a=2，代入①解得k＝2。
⑵∵k=2，∴f(x)=x2－x+2=(x－
)2+
>0。
∴＝f(x)+
≥
＝6。当且仅当f(x)＝，即[f(x)]2=9时取等号。∵f(x)>0，∴f(x)＝3时取等号。即x2－x+2＝3，解得x＝
。当x＝时，取最小值。
19．解：⑴由题意，
，
又
，所以
。
⑵
当
时，
，它在
上单调递增；
当
时，
，它在
上单调递增。
20．解：⑴f(m+n)=f(m)f(n)，令m=1,n=0，则f(1)=f(1)f(0)，且由x>0时，0<f(x)<1，∴f(0)=1；设m=x<0，n=－x>0，∴f(0)=f(x)f(－x)，∴f(x)＝
>1。
⑵设x1<x2，则x2－x1>0，∴0<f(x2－x1)<1，∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)+x1]－f(x1)＝f(x2－x1)f(x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，∴f(x)在R上单调递减。
⑶∵f(x2)f(y2)>f(1)，∴f(x2+y2)>f(1)，由f(x)单调性知x2+y2<1，又f(ax－y+2)=1=f(0)，
∴ax－y+2=0，又A∩B＝，∴
，∴a2+1≤4，从而
。
21．解：⑴依题意，设B(t, t)，A(－t, t)(t>0)，C(x0,y0)。∵M是BC的中点，∴
＝1，
＝m，∴x0＝2－t，y0＝2m－t。在△ABC中，AB＝2t，AB边上的高h＝y0－t＝2m－3t。∴S＝AB·h＝·2t·(2m－3t)＝－3t2+2mt，t∈(0,1]。
⑵S＝－3t2+2mt＝－3(t－
)2+
，t∈(0,1]。若
，即<m≤3。当t＝时，Smax＝，相应的C点坐标是(2－，m)。若>1，即m>3时，S=f(t)在区间(0,1]上是增函数，∴Smax＝f(1)=2m－3，相应的C点坐标是(1,2m－)。
22．⑴证明：由题设条件可知，当
时，有
即
⑵证法一：对任意的
当
不妨设
则
所以，
综上可知，对任意的
都有
证法二：由⑴可得，当
所以，当
因此，对任意的
当
时，
当
时，有
且
所以
综上可知，对任意的都有
⑶答：满足所述条件的函数不存在．
理由如下，假设存在函数
满足条件，则由
得
又
所以
①
又因为为奇数，所以
由条件
得 
② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在．