高三单元试题之七直线和圆的方程
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 设集合M={直线}，P={圆}，则集合M∩P中的元素个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
2． 直线l经过A（2，1）、B（1，m2）(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3． 过点M（2，1）的直线与x轴交于P点，与y轴交于Q点，且MP=MQ，则此直线的方程是( )
A．x－2y+3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x+y－5＝0 D．x+2y－4=0
4．
已知点A（6，－4），B（1，2）、C（x,y）,O为坐标原点。若
则点C的轨迹方程是( )
A．2x－y+16＝0 B．2x－y－16＝0 C．x－y+10＝0 D．x－y－10＝0
5． 设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是( )
A．圆 B．两条平行直线 C．抛物线 D．双曲线
6．
已知实数x、y满足x2+y2=4，则
的最小值为( )
A．
B．
C．
D．
7． 若点（5，b）在两条平行直线6x－8y+1=0与3x－4y+5=0之间，则整数b的值为( )
A．5 B．－5 C．4 D．－4
8．不等式组
表示的平面区域是 （ ）
A．矩形 B．三角形 C．直角梯形 D．等腰梯形
9．4个茶杯和5包茶叶的价格之和小于22元
,而6个茶杯与3包茶叶的价格之和大于24
元，则2个茶杯与3包茶叶的价格比较 ( )
A． 2个茶杯贵 B．3包茶叶贵 C．二者相同 D．无法确定
10．直线l的倾斜角是α，则
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
11．直线ax+by+b－a＝0与圆x2+y2－x－2＝0的位置关系是 （ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．与a,b的取值有关
12．在圆x2+y2＝5x内，过点
有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a1，最大弦长为an，若公差
，那么n的取值集合为
（ ）
A．{4，5，6，7} B．{4，5，6} C．{3，4，5，6} D． {3，4，5}
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．圆心在直线2x+y＝0上，且与直线x+y－1＝0切于点（2，－1）的圆的方程是 。
14．将直线y＝－
x+2绕点（2，0）按顺时针方向旋转30°所得直线方程是
。
15．在坐标平面内，由不等式组
所确定的平面区域的面积为
．
16．已知定点P（2，1），分别在y=x及x轴上各取一点B与C，使
BPC的周长最小，最小值为__________ ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．某工厂的一个车间生产某种产品，其成本为每公斤27元，售价为每公斤50元。在生产产品的同时，每公斤产品产生出0.3立方米的污水,污水有两种排放方式:其一是输送到污水处理厂,经处理(假设污水处理率为85%)后排入河流;其二是直接排入河流.若污水处理厂每小时最大处理能力是0.9立方米污水,处理成本是每立方米污水5元;环保部门对排入河流的污水收费标准是每立方米污水17.6元,根据环保要求该车间每小时最多允许排入河流中的污水是0.225立方米.试问:该车间应选择怎样的生产与排污方案,才能使其净收益最大.
18．圆的方程为x2+y2－6x－8y＝0，过坐标原点作长为8的弦，求弦所在的直线方程。
19．已知定点A(0,1)，B(0,－1)，C(1,0)。动点P满足：
。
⑴求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
⑵当
的最大值和最小值。
20．已知圆M：2x2+2y2－8x－8y－1＝0和直线l：x+y－9＝0过直线 上一点A作△ABC，使∠BAC=45°，AB过圆心M，且B，C在圆M上。
⑴当A的横坐标为4时，求直线AC的方程；
⑵求点A的横坐标的取值范围。
21．如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，
⑴如果
，求直线MQ的方程；
⑵求动弦AB的中点P的轨迹方程.
22．某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的宽度均为3米，有一个水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道，若该设备水平截面矩形的宽为1米，长为7米. 问：该设备能否水平移进拐角过道？
高三单元试题之七：直线和圆的方程参考答案
一、1．B 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．C 8．B 9．A 10．A 11．B 12．A
二、13．(x－1)2＋(y+2)2=2 14．x=2 15．16 16．
三、17．解：设该车间每小时净收益为z元，生产的产品为每小时x公斤，直接排入河流的污水量为每小时y立方米。则该车间每小时产生污水量为0.3x; 污水处理厂污水排放量为0.3x－y,经污水处理厂处理后的污水排放量为(1－0.85)(0.3 x－y),车间产品成本为27x,车间收入为50x,车间应交纳排污费用17.6[(1－0.85)(0.3 x－y)+y],车间应交纳污水处理费5(0.3x－y),于是z=50x－27x－5(0.3x－y)－17.6[0.15 (0.3x－y)+y]=20.708x－9.96y.
|
=67.44.
故该车间应每小时生产3.3公斤产品,直接排入河流的污水量为每小时0.09立方米,这样净收益最大.
18．解：x2+y2－6x－8y=0即(x－3)2+(y－4)2=25，设所求直线为y＝kx。
∵圆半径为5，圆心M（3，4）到该直线距离为3，
∴ 
，
∴
，∴
。 ∴所求直线为
或
。
19．解：⑴设动点的坐标为P(x,y),则
＝(x,y－1)，
＝(x,y+1)，
＝(1－x,－y)
∵·＝k2，∴x2+y2－1＝k[(x－1)2+y2]即(1－k)x2+(1－k)y2+2kx－k－1=0。
若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）是平行于y轴的直线。
若k≠1，则方程化为：
，表示以(
,0)为圆心，以
为半径的圆。
⑵当k=2时，方程化为(x－2)2+y2=1。∵2＋＝2(x,y－1)＋(x,y+1)＝(3x,3y－1)，
∴2＋＝
。又x2+y2＝4x－3，∴2＋＝
∵(x－2)2+y2＝1，∴令x＝2＋cosθ，y＝sinθ。
则36x－6y－26＝36cosθ－6sinθ+46＝6
cos(θ+φ)+46∈[46－6,46＋6]，
∴2＋max＝
＝3＋，2＋min＝
＝-3。
20．解：⑴依题意M（2，2），A（4，5），
，设直线AC的斜率为
，则
,解得
或
，故所求直线AC的方程为5x+y－25＝0或x－5y+21＝0；
⑵圆的方程可化为(x－2)2+(y－2)2＝
，设A点的横坐标为a。则纵坐标为9－a；
①当a≠2时，
，设AC的斜率为k，把∠BAC看作AB到AC的角，则可得
，直线AC的方程为y－(9－a)＝
(x－a)即5x－(2a－9)y－2a2+22a－81＝0，又点C在圆M上，所以只需圆心到AC的距离小于等于圆的半径，即
，化简得a2－9a+18≤0，解得3≤a≤6；
②当a＝2时，则A（2，7）与直线 x=2成45°角的直线为y－7＝x－2即x－y+5＝0，M到它的距离
，这样点C不在圆M上，还有x+y－9＝0，显然也不满足条件，故A点的横坐标范围为［3，6］。
21．解：⑴解（1）由可得
由射影定理得
在Rt△MOQ中，
，
故
，所以直线AB方程是
⑵连接MB，MQ，设
由点M，P，Q在一直线上，得
由射影定理得
即
把（A）及（B）消去a，并注意到
，可得
22．解：由题设，我们以直线OB,OA分别为x轴，y轴建立直角坐标系，问题可转化为：求以M(3,3)点为圆心，半径为1的圆的切线被x的正半轴和y的正半轴所截的线段 AB长的最小值。设直线AB的方程为
，∵它与圆
相切，
∴ 
……（1） ，又∵原点O(0,0)与点M(3,3)在直线的异侧，∴
，∴（1）式可化为
……（2）
下面求
（a>0,b>0）的最小值。设
代入（2）得
，……（3）
再设t=sinθ+cosθ,
.
,代入（3）
得
，
,记
这里f(1)=－4<0, 在
内有解
。这时
|
，
故该设备不能水平移进过道。
另解：
∴r(t) 在上是减函数，
。