高考复习试题之三数列

高三单元试题之三数列

一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．  若a、b、c成等差数列，则函数f(x)＝ax²+bx+c的图象与x轴的交点个数是(　)

A．0　　　　　　　　　　　B．1　　　　　　　　　　　　　　C．2　　　　　　　　　　　　　　D．不确定

2．  在等差数列{a_n}中，a₁₀<0，a₁₁>0，且a₁₁>a₁₀，则{a_n}的前n项和S_n中最大的负数为(　)

A．S₁₇　　　　　　　　　 B．S₁₈　　　　　　　　　　　　 C．S₁₉　　　　　　　　　　　　 D．S₂₀

3．  某厂2004年12份产值计划为当年1月份产值的n倍，则该厂2004年度产值的月平均增长率为(　)

A．　　　　　　　　　B．－1　　　　　　　　　C．－1　　　　　　　　 D．

4．  等差数列{a_n}中，已知a₁＝，a₂+a₅＝4，a_n＝33，则n为(　)

A．50　　　　　　　　　　B．49　　　　　　　　　　　　　C．48　　　　　　　　　　　　　D．47

5．  已知数列{a_n}的首项a₁＝1，a_n+1＝3S_n(n≥1)，则下列结论正确的是(　)

A．数列a₂，a₃，…，a_n，…是等比数列　B．数列{a_n}是等比数列　　

C．数列a₂，a₃，…，a_n，…是等差数列　D．数列{a_n}是等差数列

6．  数列{a_n}的前n项和S_n＝5n－3n²(n∈N^＊)，则有(　)

A．S_n>na₁>na_n　　　 B．S_n<na_n<na₁　　　　　　 C．na_n>S_n>na₁　　　 D．na_n<S_n<na₁

7．  等差数列{a_n}中，a₁+a₂+…+a₅₀＝200，a₅₁+a₅₂+…+a₁₀₀＝2700，则a₁等于(　)

A．－1221　　　　　　 B．－21．5　 　　　　　　　C．－20．5　　　　　　　　 D．－20

8．  已知关于x的方程(x²－2x+m)(x²－2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则m－n＝(　)

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　　 D．1

9．等比数列{a_n}中，a₁＝512，公比为－，用∏_n表示它的前n项之积，即∏_n= a₁·a₂……a_n，则∏_n中最大的是(　　)

　 A．∏₁₁　　 　　　　　　B．∏₁₀　　　　　　　　　　　　C．∏₉　　　　　 　　　　　　　D．∏₈

10．已知数列{a_n}满足a₀=1，a_n=a₀+a₁+…+a_n－1(n≥1)，则当n≥1时，a_n＝　　　　　　(　　)

　　　 A．2ⁿ　　　　　　　　　 B．2ⁿ－1　　　　　　　　　　 C．n(n+1)　　　　　　　　D．2^n－1

11．设数列{a_n}是公比为a(a≠1)，首项为b的等比数列，S_n是前n项和，对任意的n∈N^＊，点(S_n，S_n+1)在直线(　　)

　　A．y=ax－b上　　　　B．y=ax+b上　　C．y=bx+a上　　　　　D．y=bx－a上

12．某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令

　　

　　其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（　　）

　　　 A．

　　　 B．

　　　 C．

　　　 D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13．在数{a_n}中，其前n项和S_n=4n²－n－8，则a₄=　　　　　  　　。

14．已知等差数列{a_n}与等比数列{b_n}的首项均为1，且公差d1，公比q>0且q1，则集合{n a_n= b_n}的元素最多有　　　　个。

15．已知(n∈N_＋)，则在数列{a_n}的前50项中最大项的项数是　　　。

16．在等差数列{a_n}中，当a_r＝a_s(r≠s)时，{a_n}必定是常数数列。然而在等比数列{a_n}中，对某些正整数r、s (r≠s)，当a_r＝a_s时，非常数数列的一个例子是____________．

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．数列{a_n}是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。

⑴求数列的公差；

⑵求前n项和S_n的最大值；

⑶当S_n>0时，求n的最大值。

18．{a_n}是等差数列，设f_n(x)＝a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，n是正偶数，且已知f_n(1)＝n²，f_n(－1)＝n。

　　　 ⑴求数列{a_n}的通项公式；

⑵证明

19．某市2003年共有1万辆燃油型公交车。有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：

⑴该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？

⑵到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的？

 

20．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n－3n ．

　 ⑴求数列{a_n}的首项a₁与递推关系式：a_n+1=f(a_n)；

　 ⑵先阅读下面定理：“若数列{a_n}有递推关系a_n+1=Aa_n+B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，则数列是以A为公比的等比数列。”请你在⑴的基础上应用本定理，求数列{a_n}的通项公式；

　 ⑶求数列{a_n}的前n项和S_n ．

21．某地区位于沙漠边缘地带，到2004年底该地区的绿化率只有30%，计划从2005年开始加大沙漠化改造的力度，每年原来沙漠面积的16% ，将被植树改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化。

　　 ⑴设该地区的面积为1，2002年绿洲面积为，经过一年绿洲面积为……经过n年绿洲面积为求证：

　　　⑵求证：是等比数列；

　　　⑶问至少需要经过多少年努力，才能使该地区的绿洲面积超过60%？（取

22．已知点P_n(a_n，b_n)都在直线L：y=2x+2上，P₁为直线L与x轴的交点，数列{a_n}成等差数列，公差为1(n∈N^＊)。

　　⑴求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

　　⑵若f(n)＝，问是否存在k∈N^＊，使得f(k+5)=2f(k)－2成立？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由；

⑶求证：(n≥2，n∈N^＊)。

高三单元试题之三：数列参考答案

一、1．D　2．C　3．B　4．A　5．A　6．D　7．C　8．A　9．C　10．D　11．B　12．C

二、13．27　14．2　15．9　 16．a，－a，a，－a，…(a≠0)，r与s同为奇数或偶数

三、17．解：⑴∵a₁＝23，a₆>0，a₇<0，∴

∵d为整数，∴d＝－4。

⑵＝23＝－2 =－

∴当时，S_n最大＝78。

⑶S_n＝－2n²+25n>0得0，∴n最大为12。

18．解：⑴

，∴a_n＝2n－1(n∈N_＋)

⑵∴通过差比数列求和可得：

，又可证时为单调递增函数。

∴，综上可证。

19．解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{a_n}，其中a₁＝128，q＝1．5，

则在2010年应该投入的电力型公交车为a₇＝a₁q⁶＝128×1．5⁶＝1458(辆)。

(2)记S_n＝a₁+a₂+…+a_n，依据题意，得。于是S_n＝>5000(辆)，即1．5ⁿ>，则有n≈7．5，因此n≥8。

∴到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的。

20．解：⑴令n=1,S₁=2a₁－3。∴a₁ =3 ，又S_n+1=2a_n+1－3(n+1), S_n=2a_n－3n,两式相减得，

a_n+1 =2a_n+1－2a_n－3，则a_n+1 =2a_n+3

⑵按照定理：A=2，B=3，∴{ a_n+3}是公比为2的等比数列。

则a_n+3=（a₁+3）·2^n－1=6·2^n－1，∴a_n =6·2^n－1－3 。

⑶。

21．解：⑴设2004年底沙漠面积为b₁,经过n年治理后沙漠面积为b_n+1。则a_n+b_n＝1。

　　 依题意，a_n+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积，

a_n－4%a_n＝96%a_n，另一部分是新植树绿洲化的面积16%b_n，于是

a_n+1＝96%a_n+16%b_n =96%a_n +16%(1－a_n)=80% a_n +16%=。

　⑵由两边减去得，∴是以　　　 为首项，为公比的等比数列。

　⑶由⑵可知，依题意>60%，即，两边取对数得

故至少需要5年才能达到目标。

22．⑴P₁(－1，0)，a_n＝－1+(n－1)×1＝n－2，b_n＝2(n－2)+2＝2n－2

⑵f(n)＝，假设存在符合条件的k

①若k为偶数，则k+5为奇数，有f(k+5)=k+3，f(k)=2k－2，

如果f(k+5)=2f(k)－2，则k+3=4k－6k=3与k为偶数矛盾。

②若k为奇数，则k+5为偶数，有f(k+5)=2k+8，f(k)=k－2，

如果f(k+5)=2f(k)－2，则2k+8=2k－6，这样的k也不存在。

故不存在符合条件的k。

⑶∵P_n(n－2，2n－2)，∴P₁P_n＝(n－1)，(n≥2)

∴

。