高三数学期末综合练习（八）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）各题答案必需答在答题卡上。
1.不等式 
的解集为
( )
(A)(一2．1) (B)(一1，2) (C)(一∞，一2) ∪(1，+∞) (D)(一∞，一1)∪(2，+∞)
2．不等式x(1－3x)>0的解集是 （ ）
A．
B．
C． 
D．
3函数y=2x+1(－1≤x<0)的反函数是 （ ）
A．y=1+log2x(x>0) B．y=－1+log2x(x>0)C．y=1+log2x(1≤x<2)D．y=－1+log2x(1≤x<2)
4设向量确
= (3，一3)，
= (一5，一1)，则 
等于 ( )
(A)(一2， 4) (B)(—1，一2) (C)(4．一1) (D)(一4，1)
5设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则“a1<O，且0<q<1”是“对于任意正整数n，都有 an+1＞an”的 ( )
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
6设l1 、l2为两条直线，a、β为两个平面，给出下列四个命题：
(1)若l1
, l2
，l1∥β，l1∥a则a∥β. (2)若l1⊥a ，l2⊥a，则l1∥l2
(3)若l1∥a，l1∥l2，则l2∥a (4)若a⊥β，l1，，则l1⊥β
其中，正确命题的个数是 ( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
7设函数，
若对任意x∈R，都有，f (x1 )≤f (x )≤f (x2 )成立，则x1 —x2的最小值为
( )
(A)4 (B)2
(C)1 (D) 
x—y≥O
8．已知x , y∈Z．则满足 x+y≤5 的点(x ，y)的个数为 ( )
y≥o
(A) 9 (B)10 (C) 11 (D)12
9已知函数，
(m为常数)图像上点A处的切线与直线2一y+3=0的夹角为45o。则点A的横坐标为
( )
(A) 0 (B) 1 (C) 0或
(D) l或
1O．设双曲线16x2—9y 22 = 144的右焦点为F2，M是双曲线上任意一点 , 点A的坐标为
(9，2)．则 MA+
MF2 的最小值为 ( )
(A) 9
(B) 
(C)
(D) 
11． a, b是异面直线，A、B∈a, C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB=2，CD=1，则a与b所成的角为 （ ）
A．30° B．60° C．90° D．45°
12．设奇函数f (x )在[—1，1]上是增函数，且f (—1)= 一1.若函数，,f (x ) ≤ t 2一2 a t +l对所有的 x∈[一1．1]都成立，则当a∈[1，1]时，t 的取值范围是 ( )
(A)一2≤t≤2 (B)
≤t≤
(C) t≥2或t≤一2或t = 0
(D) t≥或t≤或t=0。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.
13．若球的大圆面积为3π，则该球的体积为 ．
14．若向量
的夹角为
，
，则
.
15．同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；
反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语
言描述为：若有限数列
满足
，则
（结论用数学式子表示）.
16．若二次函数f 1 (x ) 、 f 2(x ) 满足条件：f (x )= f 1 (x )+ f 2 (x )在(一∞，+∞)上单调递增，(2)g= f1 (x ) — f2 (x )对任意实数 x1 、x2 (x1 ≠x2)都有
，则f 1 (x ) =
，f 2 (x )= 。(只须填上你认为正确的一组即可)
高三数学期末综合练习（八）
班级 姓名 学号 得分
一. 选择题（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
三、解答题：（本大题6个小题，共74分）各题解答必需答在答题卡Ⅱ上（必需写出必要
的文字说明、推理过程或计算步骤）。
17．(本小题满分12分)
已知
=(cos2a，slna)；
= (1，2sina—1)，a∈(
, π)，·=
，求cos(a+
)是值
18(本小题满分12分)
已知p：f -1 (x )是，f (x )=1—3x的反函数，且 f -1 (a ) <2
p：集合A = { x x 2 +( a+2) x +l = 0，x∈R}，B = { x x >0}，且A∩B=φ
求实数a的取值范围，使p、q中有且只有一个为真命题
19(本小题满分12分)
某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时问t(天)的函数关系用右图的两条线段表示：
该商品在30天内日销售量Q (件)与时问t (天)之间的关系如下表所示：
(I)根据提供的图像，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式
(Ⅱ)在所给直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式
(Ⅲ)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?(日销售金额一每件的销售价格×日销售量)
20(本小题满分12分)
如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为各边的中点将△ABC沿DE、EF、DF折叠，使A、B、C三点重合，构成三棱锥A— DEF 。
(I)求平面ADE与底面DEF所成二面角的余弦值
(Ⅱ)设点M、N分别在AD、EF上，
(λ＞O，λ为变量)
①当λ为何值时，MN为异面直线AD与EF的公垂线段?
请证明你的结论
②设异面直线MN与AE所成的角为a，异面直线MN与DF所成的角为β，试求a+β 的值
21(本小题满分12分)
已知函数，
，数列{an }满足
(I)求数列{an }的通项公式 (Ⅱ)记Tn =
①求Tn ；②设数列{bn }的通项公式为
．求证：bn·Tn≤20
(符号“∑”表示将若干个数相加如，x1 + x2 +…+ xn 记作
)
22. (本小题满分14分)
椭圆
(a ＞ b＞0)的两个焦点为F1 (—c，0)、F2(c，0)，M是椭圆上一点，满足
；(I)求离心率e的取值范围
(Ⅱ)当离心率e取得最小值时，点N(0，3)到椭圆上的点的最远距离为
(1)求此时椭圆G的方程；
(2)设斜率为k (k≠0)的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为A、B的中点，问：A、B两点能否关于过点
、Q的直线对称? 若能，求出^的取值范围；若不能，请说明理由
高三数学期末综合练习（八）
参考答案及评分标准
l．C 2．D 3．D 4．D 5．A 6．B 7．B 8． D 9．C 10．B 11．B 12．C
二．13．
14．2 ；
15．
和
16．如：f 1 (x1 )= —x2 + x f 1 (x) = —x + x
三、解答题
17．·=cos2a+sin(2sina
—1)=2cos2a一1+2sin2a一sina=1—sina
5分 由
，
7分 
∴
9分
∴ 
12分
18：∴f 1 (x)=1 —3 x ∴
1分
由
3分
当△＜0时A≠φ，此时(a+2)2一4＜0，一4＜a＜05分 当△≥。时，由A∩B=φ
得 △=(a+2)2一4≥0
x1一x2= 一(a+2) ＜0 解得a≥0。 7分 由此得a＜0，a＞一4 8分 (1)要使p真q假，则
—5＜a＜7
a≤—5或
a ≥7
解得一5＜a≤一4 10分(2)要使p假q真, 则 解得a ≥7 11分
a≤—4， a＞一4
∴当4的取值范围是(5，一4]∪[7．+∞)时．p、q中有且只有一个为真命题 1 2分
19解：(1)根据图像，每件的销售价格P与时间t的函数关系式为；
t +20， (0＜t＜25
t∈N’)
P=
一t+100, (25≤t≤30, t∈N’)3分
(2)描出实数对(t．Q)的对应点如图所示4分
从图像发现：点(5，35)，(15，25)，(20．20)，(30．10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l,Q=kt+b． 5分
由点(5，35)．(30，10)确定出l的解析式为Q=t+40 通过检验可知．点(15，25)．(20．20)也在直线l上。
∴日销售量Q与时间t的一个函数关系式为Q= 一t+40，(O<t≤3,·t∈N’)
(3)设日销售金额为y(元)
—t+20t+800，(0<t<25，t∈N’)
—（t—10）2+900 , (0<t<25，t∈N’)
则y= =
t2—140t+4000 (25≤t≤30 ,t∈N’) （t—70）2+900, (25≤t≤30 ,t∈N’)
9分 若0<t<25(t∈N’)，则当t=10时，ymat=900 10分
若25≤t≤30(t∈N·)，则当t=25时，ymat=1125，11分由1125>900，知ymat=1125。
∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大。 12分
20。解法一：
（Ⅰ）如图，取DE的中点G，连接AG、FG 1分
由题意AD=AE，△DEF为正三角形，得AG⊥DE，
∴∠AGF为平面ADE与底面DEF所成二面角的平面角。2分
由题意得AG=FG=
。在△AGF中，
∴平面ADF与底面DEF所成二面角的余弦值为
4分
（Ⅱ）（1）λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段 5分
当λ=1，M为AD的中点，N为FF的中点，连结AN、DN，
则由题意，知AN=DN=，∴MN⊥AD，同理可证MN⊥EF 7分 ∴λ=1时，MN为异面直线AD与EF公垂线段。
（2）过点M作MH∥DF，交AF于点H，则∠HMN为异面直线 MN与DF所成的角 。 8分
由MH∥DF，得 
，∴
∴HN//AE，∠MNH为异面直线 MN与AE所成的角 。 9分
∴α+β=∠MNH+∠HMN=π—∠MHN 10分
由题意得，三棱锤A—DEF是正棱锤，则点A在底面DEF上的射影为底面△DEF的中心，记为O。
∵ AE在底面DEF上的射影EO⊥DF， ∴AE⊥DF11分。
又∵HN//AE，MH//DF，∴∠MNH=
，∴
12分
解法二：
同解法一，另解如下：由题意三棱锤A—DEF是正棱锤，点A在底面DEF上的射影为正三角形DEF的中心，记为O，则
1分
以点O为原点，OE所在直线为x ，在平面DEF内过点O与OE垂直的直线为y，
则得O（0，0，0），
由题意.易知三角形ADE的中心p的坐标为
。则平面ADE的法向量
3分
平面DEF的法向量
所成的角θ平面ADF与底面DEF所成二面角的平面角，
又
∴平面ADF与底面DEF所成二面角的余弦值为 4分
（Ⅱ）(1)λ=1时，MN为异面直线AD与EF的公垂线段 5分当λ=1时，M为AD的中点，N为EF的中点。此时点M的坐标为
．点N的坐标
，
∴
∴
∴
，即MN⊥AD 同理可证MN⊥EF
7分
∴λ=1时，MN为异面直线AD与EF的垂线段
（2）
又
，∴
∴
又∵0＜a+β＜π
∴a+β= 12分
21.解：（Ⅰ）∵f (x)=
，∴
∴数列｛an｝为等差散列，
。3分
（Ⅱ）（1）
。 6分
（2）
7分
设
8分
9分
∵
∴g(x)在（0，5
] 单调递减，在[6，+∞) 单调递减增 10分
∴b1 T1＜b2 T2＜…＜bn Tn bn Tn＞b1 T1＞bk Tk … 11分 又
∴
12分
22解：(I)设点M的坐标为(x，y)，则
=(x+c· y)，
=(x-c· y)由·=0得
① 1分 又由点M在椭圆上得
， 2分
∵ 0≤x≤
∴0≤
,
l ， 解得
又∵0≤e≤1
, ∴ ,
(Ⅱ)(1)当离心率e取最小值
时．椭圆方程可表示
,
1分
设点H(x，y)是椭圆上的一点，则 HN2= x2+(y —3) 2=(2 b 2一2 y 2)+( y一3) 2= -(y+3) 2
+2 b 2+1 8(一b≤y≤b) 6分 (1)若0< b <3则一b>一3．
当，y= 一6时，HN2有最大值b 2+6 b +9=50
由题意知：b 2+6 b +9=50，
，这与o<b<3矛盾 8分
(2)若b≥3．则一b≤3，
当y= —3，时HN2有最大值2 b 2+18
由题意知：2 b 2+18=50·b 2=l 6 .
∴所求椭圆方程为
8分
（2）设直线l的方程为y=kx+m，代人中，得(1+k2) x2+4 kxm +(2m2—
32)=0 9分
由直线l与椭圆G相交于不同的两点知△=(4km )2一4(1+2k2)(2m2—32)>0 。
∴ m2<32 k2+16 ②10分 要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须
设A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，
则
∵
∴
③ 13分
由②、③得
， ∴
12分
又∵k≠0
∴
时，AB两点关于过点P、Q对称。
14分