高三数学期末综合练习（二）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）各题答案必需答在答题卡上。
1. 已知集合
Z为整数集, 则
等于
( )
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 
的值等于 ( )
A. 
B. 
C. 
D.
3. 在等比数列
中, 
, 则
的值为 ( )
A. 48 B. 72 C. 144 D. 192
4. 已知实数x、y满足
则
的最大值是
( )
A. 0 B. 4 C. 7 D. 11
5. 设a、b、c表示三条直线, 
、
表示两个平面, 则下列命题中逆命题不成立的是 ( )
A. 已知
若
则∥
B. 已知
, c是a在内的射影, 若b
c, 则a
b
C. 已知
,
, 若
∥, 则c∥b D. 已知, 若
则
6. 下列四个函数中, 同时具有性质: ①最小正周期为
; ②图象关于直线
对称的一个函数是
( )
A. 
B.
C. 
D.
7. “
”是“函数
的值恒为正值”的
( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
8. 在等差数列中, 前n项和为
, 
, 则
是
(
)
A. 
B.
C. 
D.
9. 如图, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中, P是侧面BB1C1C内一动点,
若
点P到直线BC的距离是点P到直线C1D1距离的2倍, 则动点P的
轨迹所在的曲线是 ( )
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
10. 设
, 则二次曲线
的离心率的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
11. 关于函数
有下列三个命题: ⑴对于任意
,都有
⑵
在
上是减函数;⑶对于任意
,
,都有
其中正确的命题个数是
( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
12. 方程
的曲线如左图所示, 
那么方程
的曲线是 ( )
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上（只填结果，不要过程）。
13. 不等式
的解集为
.
14. 已知圆C的圆心在第一象限, 与x轴相切于点
, 且与直线
也相切, 则该圆的方程为 .
15. 已知O为原点,
, 
, 
, 则
的最小值是 .
16. 给出下列四个命题：
⑴ 过平面外一点，作与该平面成
）角的直线一定有无穷多条；
⑵ 一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；
⑶ 对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；
⑷ 对两条异面的直线，都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等；
其中正确的命题序号为_____________（请把所有正确命题的序号都填上）。
高三数学期末综合练习（二）
班级 姓名 学号 得分
一. 选择题（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
三、解答题：（本大题6个小题，共74分）各题解答必需答在答题卡Ⅱ上（必需写出必要
的文字说明、推理过程或计算步骤）。
17．（12分）已知
,
,记
.
(1) 求的周期及最小值;(2) 若按m平移得到
, 求向量m .
18．（12分）已知直三棱柱ABC—A1B1C1中, 
, D是BC中点, F为棱
上一点,且
, 
.
(1) 求证: 
平面ADF;
(2) 若
试求出二面角D—AF—B的正切值.
19．（12分）设某银行一年内吸纳储户存款的总数与银行付给储户年利率的平方成正比, 若
该银行在吸纳到储户存款后即以5％的年利率把储户存款总数的90％贷出以获取利润, 问银行支付给储户年利率定为多少时, 才能获得最大利润?
(注: 银行获得的年利润是贷出款额的年利息与支付给储户的年利息之差.)
20．（12分）已知函数
(1) 求证: 函数是偶函数;
(2) 判断函数分别在区间
、
上的单调性, 并加以证明;
(3) 若
, 求证: 
.
21．（12分）已知椭圆E的右焦点F
, 右准线l:
, 离心率
.
(1) 求椭圆E的方程;
(2) 设A是椭圆E的左顶点, 一经过右焦点F的直线与椭圆E相交于P、Q两点(P、Q与A不重合), 直线AP、AQ分别与右准线l相交于点M、N, 求证: 直线PN、直线QM与x轴相交于同一点.
22．（14分）设数列的各项都是正数, 且对任意
都有
记为数列的前n项和.
(1) 求证: 
;
(2) 求数列的通项公式;
(3) 若
(
为非零常数, ), 问是否存在整数, 使得对任意, 都有
.
高三数学期末综合练习（二）
参考答案及评分标准
一. 选择题（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | A | C | D | D | D | A | C | D | B | D | D | C |
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. [1, 2] ; 14. 
; 15. 
; 16. ⑵⑷;
三. 解答题（共74分）
17．（本小题满分12分）
解: (1)
…………(2分)
＝
…………(6分)
∴的周期为π,最小值为－2. …………(8分)
(2)若按向量m平移得到
则向量m
…………(12分)
18．（本小题满分12分）
解: (1) ∵, F为棱BB1上一点, ∴AD⊥BC,
又∵直三棱柱ABC－A1B1C1, ∴BB1⊥底面ABC,
∴BB1⊥AD, ∴AD⊥平面BC1,………(3分)
在Rt△DBF和Rt△FB1C1中,
∴Rt△DBF∽Rt△FB1C1,
∴∠BDF＝∠B1FC1, 又∠BDF＋∠BFD＝90°,
∴∠B1FC1＋∠BFD＝90°,
∴DF⊥C1F, ∴C1F⊥平面ADF. ………(6分)
(2) 过B作BE∥C1F, 交DF于H,
则BH⊥平面ADF, ………(8分)
过H作HG⊥AF交AF于G点, 连结BG, 则BG⊥AF,
则∠BGH为所求二面角的平面角, ………(9分) 若AB＝
可得
.…(12分)
19．（本小题满分12分）
解：设银行支付给储户的年利率为, 银行获得的年利润为,
则
. 
………(5分)
………(7分)
令
得
,………(9分)
当
时, 
; 当
时, 
. 故当时, y取极大值,
并且这个极大值就是函数y的最大值. ………(11分)
所以, 当银行支付给储户年利率为3％时, 银行可获得的年利润. ………(12分)
20．（本小题满分12分）
解: (1) 当
时, 
, 则
∴
………(2分)
当
时, 
, 则
,
∴
综上所述, 对于
, 都有, ∴函数是偶函数.………(4分)
(2) 当时, 
设
, 则
………(6分)
当
时, 
; 当
时, 
,
∴函数在
上是减函数, 函数在上是增函数.………(8分)
(3)由(2)知, 当
时, 
,………(9分)
又由(1)知, 函数是偶函数, ∴当
时, ,………(10分)
∴若
, 
, 则
, 
,………(11分)
∴
, 即
.………(12分)
21．（本小题满分12分）
解: (1)设椭圆E上任一点P(x, y), 则
,………(3分)
化简得, 
,………(5分)
(2)①当直线
x轴时, 
,
, 
令
得直线PN、直线QM与x轴相交于同一点
, 即右顶点, 设为B. ………(6分)
②当直线PQ不垂直x轴时, 设
,
,
由
∴
, 
, ……(7分)
又AP: 
AQ: 
令, 得
, 
.
∴
, 
………(9分)
直线PN与x轴相交于右顶点B. ………(11分) 同理, 直线QM与x轴相交于右顶点B,
所以, 直线PN、直线QM与x轴相交于同一点. ………(12分)
22．（本小题满分14分）
证明：(1)在已知式中, 当
时, 
∵
∴
.………(1分)
当
时, 
①
②
由①－②得, 
………(3分)
∵
∴
即
∴适合上式,
.………(4分)
(2)由(1)知, 
③
当时, 
④
由③－④
得,
………(6分)
∵
, ∴
, 数列是等差数列,首项为1,
公差为1, 可得
.………(8分)
(3) ∵, ∴
………(9分)
∴
,
∴
⑤………(11分)
当
时, ⑤式即为
⑥
依题意, ⑥式对
都成立, 当
时,
⑤式即为
⑦依题意, ⑦式对都成立,
∴
………(13分) ∴
又
,
∴存在整数
, 使得对任意
, 都有.………(14分)