高三数学期末综合练习（六）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）各题答案必需答在答题卡上。
1. 已知全集
, 
, 
, 则 (CUA)
B是 ( )
A. 
B.
C.
D. 
2. 
的最小正周期为
( )
A. 
B.
C. 
D. 2
3. 函数
的反函数是
( )
A. 
B. 
C. 
D.
4. 若一个等差数列的前3项的和为34, 最后3项的和为146, 且所有项的和为390, 则这个数列共有 ( )
A. 13项 B. 12项 C. 11项 D. 10项
5. 已知球的体积为36, 则该球的表面积为
( )
A. 9
B. 12 C.
24
D. 36
6. 已知平行四边形ABCD的顶点A（3，－1），C（2，－3），点D在直线3x－y+1=0上移动，则点B轨迹方程为 （ ）
A．3x－y－20=0(x≠13) B．3x－y－10=0(x≠13)
C．3x－y－9=0(x≠2) D．3x－y－12=0(x≠5)
7. 若抛物线
过点
, 则点A与抛物线焦点F的距离为 ( )
A. 9
B. 10
C. 12
D. 4
8. 不等式组
, 表示的平面区域的面积是 ( )
A. 48 B. 36 C. 24 D. 12
9. 函数
的单调递增区间为
(
)
A. 
B.
C. 
D.
10. 将圆
按向量
平移后, 恰好与直线
相切, 则实数b的值为
( )
A. 
B.
C.
D.
11. 已知平面
平面
l, 异于直线l的直线
, 异于直线l的直线
, 且
, 命题p: a
l, 命题q: ab则p是q的
( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
12. 设函数
, 若
时, 
恒成立, 则实数m的取值范围是
( )
A. 
B.
C. 
D. 
二. 填空题：(本大题共4小题；每小题4分，共16分)
13. 不等式
的解集为 .
14. 条件p:x－2>2－x；条件q:x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 .
15. 给出下列四个命题：
①若直线l⊥平面α，l//平面β，则α⊥β；
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
③一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面，则这两个二面角的平面角互为补角；
④过空间任意一点一定可以做一个和两个异面直线都平行的平面。
其中，正确的命题的是 .
16. 已知数列
满足
, 若
,则
.
高三数学期末综合练习（六）
班级 姓名 学号 得分
一. 选择题（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
三、解答题：（本大题6个小题，共74分）各题解答必需答在答题卡Ⅱ上（必需写出必要
的文字说明、推理过程或计算步骤）。
17.（本题12分）已知数列为等差列,
.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 设
是数列的前n项和,请比较·
与
的大小.
18. (本题12分) 已知向量
,
, 
.
(1) 求a·b及
;
(2) 若
(其中
)的最小值是
, 求
的值.
19. (本题12分) 如图, 在三棱S—ABC中, △ABC是边长为8的正三角形, SA＝SC＝2
, 二面
角S—AC—B为60°.
(1) 求证: AC⊥SB;
(2) 求二面角S—BC—A的正切值.
20.（本题12分）设函数
.
（1）在区间
上画出函数
的图像；
（2）设集合
. 试判断集合
和
之间的关系，并给出证明；
（3）当
时，求证：在区间
上，
的图像位于函数图像的上方.
21. (本题12分) 如图 ,椭圆的中心在原点, 焦点在x轴上, 过其右焦点F作斜率为1的直线, 交椭圆于A、B两点, 若椭圆上存在一点C, 使
＋
＝
.
(1) 求椭圆的离心率;
(2) 若
＝15, 求这个椭圆的方程.
22. （本题14分）已知数列
，其中
是首项为1，公差为1的等差数列；
是公差为
的等差数列；
是公差为
的等差数列（
）.
（1）若
，求；
（2）试写出
关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得
是公差为
的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
高三数学期末综合练习（六）
参考答案及评分标准
一. 选择题（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | A | C | D | A | D | A | B | C | A | B | A | C |
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. (－3,
1) ; 14. 
; 15. ①; 16. 4008 ;
三. 解答题（共74分）
17．（本小题满分12分）
解: (1)设公差为d, 由已知可得: 
所以等差数列的通项公式为;
……(4分)
(2) 的前n项和为
……(6分)
……(10分)
∵
∴
∴
∴
…(12分)
18．（本小题满分12分）
解:
(1)
. ……(3分)
,……(6分)
∵, ∴
……(7分)
(2)
……(8分)
∵, ∴
①当
时, 当且仅当
时, 
取的最小值
,
由已知得
, 解得
, ……(9分)
②当
时, 当且仅当
时, 取得最小值
,
由已知得
, 解得
,这与矛盾.……(11分)
综上所述,为所求.……(12分
19．（本小题满分12分）
证明: (1)取AC的中点D, 连结SD、BD, ∵SA＝SC, D为AC的中点, ∴SD⊥AC.…(2分)
∵AB＝BC, D为的AC中点, ∴BD⊥AC. 又SDBD＝D, ∴AC⊥面SBD, 又SB
面SBD,∴AC⊥SB. ……(4分)
(2)过O作OH⊥BC于H, 连SH, 则SH⊥BC. ∴∠SHO为二面角S—BC—A的平面角.……(9分)
∵正△ABC的边长为8, ∴BD＝
. ∵
,
∴
在Rt△OHB中, 
……(10分)
在Rt△SOH中, 
即二面角S—BC—A的正切值为
.……(12分)
20．（本小题满分12分）
解: （1）
（2）方程
的解分别是
和
，由于在
和
上单调递减，在
和
上单调递增，因此
.
……8分
由
.
（3）[解法一] 当
时，
.
，
. 又
，
①
当
，即
时，取
，
.
， 则
.
②
当
，即
时，取
， ＝
.
由 ①、②可知，当时，
，.
因此，在区间上，
的图像位于函数图像的上方.
[解法二] 当时，.
由
得
，
令 
，解得 
或
，
在区间上，当时，
的图像与函数的图像只交于一点
； 当时，
的图像与函数的图像没有交点.
如图可知，由于直线过点
，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
21．（本小题满分12分）
解: (1)设椭圆的方程为
, 焦距为
, 则直线l的方程为:
,
代入椭圆方程, 得
, 设点
、
,
则
……(2分)
∵＋
, ∴C点坐标为
.
∵C点在椭圆上, ∴
.
∴
∴
……(4分)
又
∴
∴
……(6分)
(2) ∵
……(9分)
由已知
从而
.
∴
.故椭圆的方程为: 
.……(12分)
22．（本小题满分14分）
解: （1）
.
…… 3分
（2）
，
…… 6分
，
当
时，
.
…… 10分
（3）所给数列可推广为无穷数列
，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当
时，数列
是公差为
的等差数列.
研究的问题可以是：试写出
关于的关系式，并求的取值范围.…… 12分
研究的结论可以是：由
，
依次类推可得 
当
时，
的取值范围为
等.
…… 14分