高三数学期末综合练习（四）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）各题答案必需答在答题卡上。
1. 函数
的反函数是
( )
A. 
B.
C. 
D. 
2. 直线l1, l2互相平行的一个充分条件是 ( )
A. l1, l2 都平行于同一个平面 B. l1, l2与同一个平面所成的角相等
C. l1平行于 l2 所在的平面 D. l1, l2都垂直于同一个平面
3. 若点
是300°角终边上异于原点的一点, 则
的值为 ( )
A.
B. －
C. 
D.
－
4. 函数
与
有相同的定义域,且都不是常数函数,对定义域中的任何
,有
,
，且当
时，
，则
( )
A 是奇函数但不是偶函数 B 是偶函数但不是奇函数
C 既是奇函数又是偶函数 D 既不是奇函数也不是偶函数
5. 与直线
的方向向量共线的一个单位向量是
( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知函数f (x)＝
, 则函数f (x)在区间
上的最大值是
( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 在等比数列
中, 前n项和为S n. 若
则公比q的值是 ( )
A. 2 B. －2 C. 3 D. －3
8. 若
为圆
的弦的中点,则该弦所在直线的方程是（ )
A. 
B. 
C. 
D. 
9. 已知双曲线的中心在坐标原点,离心率
,且它的一个顶点与抛物线
的焦点重合,则此双曲线的方程为
( )
A.
B. 
C. 
D. 
10. 已知F1和F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且
分别是椭圆和双曲线的离心率，则有
（ )
A 
B
C
D
11. 设正数x , y满足
则
的取值范围是（ )
A. 
B. 
C. 
D. 
12. 如图, 设点A是单位圆上的一定点, 动点P从点A出
发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点P所旋转过的弧
的长为l, 弦AP的长为d, 则函数
的图象
大致是 ( )
二．填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13. 函数
的最小正周期是
.
14. 如图, 在直三棱柱ABC—A1B1C1中, ∠ABC＝90°,
AB＝BC＝AA1＝2, 点D是A1C1的中点, 则异面
直线AD和BC1所成角的大小为 .
15. 函数
的定义域是
.
16. 已知
坐标原点O在直线AB上的射影为
点C, 则
.
高三数学期末综合练习（四）
班级 姓名 学号 得分
一. 选择题（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. ; 14. ;
15. ; 16. ;
三、解答题：（本大题6个小题，共74分）各题解答必需答在答题卡Ⅱ上（必需写出必要
的文字说明、推理过程或计算步骤）。
17. (本小题满分12分)已知
, 
. 求
的值.
18. (本小题满分12分) 为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑。已知甲公司的报价为每台5800元，优惠条件是购买10台以上则从第11台起可按报价的70% 计算；乙公司的报价也是每台5800元，优惠条件是每台按报价的85% 计算。假如你是学校的有关负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你将选择购买哪个公司的电脑？
19. (本小题满分12分)如图, 在矩形ABCD中, AB＝2BC, P, Q分别为线段AB, CD的中点, EP⊥平面ABCD.
(1) 求证: AQ∥平面CEP;
(2) 求证:平面AEQ⊥平面DEP;
(3) 若EP＝AP, 求二面角Q—AE—P的大小.
20. (本小题满分12分)已知数列的前n项和为
设集合
,
(1) 求数列的通项公式;
(2) 若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点是否都在同一条直线上? 并说明理由;
(3) “
至多只有一个元素”是否正确? 如果正确, 请给予证明; 如果不正确, 请举例说明.
21. (本小题满分12分) 已知函数
.
(1) 试确定函数
的单调区间,并证明你的结论;
(2) 若
≥1, 
≥1, 证明: 
22. (本小题满分14分)已知点P与定点F
的距离和它到定直线l: 
的距离之比是1 : 2.
(1) 求点P的轨迹C方程;
(2) 过点F的直线交曲线C于A, B两点, A, B在l上的射影分别为M, N.
求证AN与BM的公共点在x轴上.
高三数学期末综合练习（四）
参考答案及评分标准
一. 选择题（每小题5分，共60分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | A | D | B | C | D | C | A | A | B | D | B | C |
二. 填空题（每小题4分，共16分）
13. π ; 14. 30° ; 15.
; 16. 
;
三. 解答题（共74分）
17．（本小题满分12分）
解: 
…………(2分)
…………(4分)
,
,
…………(8分)
…………(12分)
18．（本小题满分12分）
解: 解：设学校计划购置台电脑，若向甲公司购买，则总价格
；----------------------3分
若向乙公司购买，则总价格
=
----------------------5分
⑴ 当
时，显然
，故应选择乙公司； ----------------------7分
⑵ 当
时，令
，即：
------------------9分
所以：当
时，选择乙公司，
当
时，选择甲、乙两公司价格一样，
当
时，选择甲公司
-------------------------11分
答：（略）
19．（本小题满分12分）
证明: (1)在矩形ABCD中,
∵AP＝PB, DQ＝QC,
∴AP
CQ.
∴AQCP为平行四边形.
∴CP∥AQ. …………(2分)
∵CP
平面CEP,
AQ
平面CEP,
∴AQ∥平面CEP. …………(4分)
(2) ∵EP⊥平面ABCD,
AQ平面ABCD,
∴AQ⊥EP. …………(5分)
∵AB＝2BC, P为AB中点, ∴AP＝AD. 连PQ, ADQP为正方形.
∴AQ⊥DP. 又EP∩DP＝P, …………(6分)
∴AQ⊥平面DEP. …………(7分)
∵AQ平面AEQ. ∴平面AEQ⊥平面DEP. …………(8分)
(3)过P作PO⊥AE, 垂足为O, 连OQ.
∵QP⊥AB, QP⊥EP,
∴QP⊥平面AEP.
则OQ⊥AE.
∴∠QOP为二面角Q—AE—P的平面角. …………(10分)
∵EP＝AP＝
,
∴OP＝
EP＝AP＝PQ.
∴tan∠POQ＝arctan
.
即二面角Q—AE—P的大小为arctan.…………(12分)
20．（本小题满分12分）
解: (1)当
时, 
…………(1分)
当
时, 
＝
…………(3分)
可见, 当时, 满足上式.
所以, 数列的通项公式是
…………(4分)
(2)由数列的通项公式是
可知数列是等差数列.
∴
, ∴
…………(6分)
∴点
的坐标满足方程
∴点在直线
上.
所以, 以集合A中的元素为坐标的点
均在直线上. …………(8分)
(3)由
, 消去y, 得
…………①…………(9分)
当
时, 方程①无解, 此时, 
…………(10分)
当
时, 方程①只有一个解
此时方程组也只有一个解, 即
故上述方程组至多有一解, 所以至多有一个元素…………(12分)
21．（本小题满分12分）
解: (1) 函数在区间
上是增函数, 函数在区间
上是减函数.(1分)
下面证明: 设
, 则
,…………(3分)
∵
,
∴
, 同理
. 又
, ∴
.…………(4分)
①
当
时, 
, 
.
∴
∴
.
∴函数在区间
上是增函数.
②当
时, 
, ∴
.
∴
∴
.
∴函数在区间
上是减函数.
综上所述: 函数在区间上是增函数, 在区间上是减函数. ……(6分)
(2) 由可知,函数在区间上减函数,
∵
∴
…………(8分)
又在函数
中, ∵3
, 
∴
.∴
, 
, ∴
…………(10分)
∴
, ∴
.
∴.…………(12分)
22．（本小题满分14分）
解： (1) 如图(1) 设P点的坐标为
,
则由题设得:
,
化简得: 
,
即
即
.
∴点P的轨迹C的方程是.…………(5分)
(2) ①当AB轴时, AB的坐标分别为
, 
,
AN与BM的交点为
在x轴上. …………(6分)
②当AB不垂直于x轴时,设直线AB的方程为
,
代入椭圆,得
…………(7分)
设
, 
, 则
, 
,
且
…………(8分)
∵直线AN方程是
, 直线BM方程是
.
联列, 得
, 消去y, 得: 
.
即
即
, …………(10分)
把
代入直线AN的方程
得
…………(13分)
∴AN与BM交于点是x轴上一定点. …………(14分)
(2) 解法二: 如图(2) 当AB不垂直于x轴时,
设AF＝n, 则AM＝2n, 设BF＝m, 则BN＝2m,
在△ABN和△BAM中, FH∥AM, FH1∥BN,
∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH1
∴
,…………(10分)
同理可推, ∴
, …………(12分)
∴
,∴H与H1重合
∴AN与BM交点是x轴上一定点. …………(14分)