成都市2006届高中毕业班第一次诊断性检测题
数 学（文科）
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参考公式：如果事件
、
互斥，那么
球的表面积公式
（＋）＝（）＋（）
＝
如果事件A、B相互独立，那么
其中
表示球的半径
（·）＝（）·（）
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是， 
＝
那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率 其中表示球的半径
注意事项：全卷满分为150分，完成时间为120分钟．
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第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的指定位置上．
1.
的值为
（A）－3 （B）－1 （C）1 （D）3
2.若
，则下列不等式中总成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
3.设
或
，
或，则
是
的
（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4.已知
是上的增函数，若令
，则
是上的
（A）增函数 （B）减函数
（C）先减后增的函数 （D）先增后减的函数
5.已知直线
平面
，直线
平面
，有下列四个命题：
①
；②
；③
；④
．
其中真命题是
（A）①② （B）③④ （C）②④ （D）①③
6.将函数
的图象按向量
平移后得到函数
的图象，则向量可以是
（A）（
，0） （B）（
，0） （C）（
，0） （D）（
，0）
7.一组数据，容量为150．按从小到大的组序分成10个组，其频数如下表：
| 组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 频数 | 15 | 17 | 14 | 18 |
| 13 | 19 | 16 | 12 | 11 |
那么，第5组的频率为
（A）0.1 （B）10
（C）0.15
（D）15
8.函数
的图象如右图所示，则
的示意图是
（A） （B） （C） （D）
9.设向量
（
，
）， 
（
，
），若
是实数，且
，则
的最小值为
（A）
（B）1
（C）
（D）
10.有A、B、C、D、E、F 6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个．若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制条件；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为
（A）168 （B）84 （C）56 （D）42
11.已知
－
，则
＝
（A）
（B）
（C）1
（D）0
12.已知
，
满足
，则
与
的关系为
（A）
（B）
（C）
（D）
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第II卷（非选择题，共90分）
二.填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在题中横线上．
13.
的展开式中，
的系数为_______________________（用数字作答）．
14.在数列
和
中，
是
和
的等差中项，
且对任意
都有
，则的通项＝_______________________________________．
15.若角、满足
，则
的取值范围是_______________________________．
16.如图，棱长为3的正三棱柱内接于球
中，则球的表面积为_____________________．
三.解答题：（本大题共6小题，共74分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
17.（共12分）天星教育网
甲、乙两人参加一项智力测试．已知在备选的10道题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每位参赛者都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算通过．
（1）求甲答对试题数
的概率分布及数学期望；
（2）求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率．
18.（共11分）
已知
中，角、、
所对的边分别是
、
、
，
且
＝
．求
的值．
19.（共14分）
如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，且
，
是
的中点．
（1） 
求异面直线
、
所成的角；
（2） 在平面
内求一点
，使得
平面
；
（3） 求二面角
的大小．
20.（共12分）
已知向量
，
，、为正实数，
，
．
（1）若
，求的最大值；
（2）是否存在、，使
？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
21.（共12分）
某西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入
万元，可获得利润
万元．当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入万元，可获利润
万元．问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？
22.（共13分）
已知数列中，
（＝1，2，3，…），其前项和为
，满足
，，
且
．数列满足
．
（I）求数列、的通项与；
（II）若
，记
，
为数列
的前项和，求证：
．
成都市2006届高中毕业班第一次诊断性检测题
数学试题（文科）参考答案及评分意见
1． D 2． B 3． A 4． B 5． D 6． B 7． A 8． C 9． C 10． D
11． A 12． D天星教育网
13．设
由
。
的系数为
。
14．
。
是公比为
的等比数列
。
15．
又
即
。
[注]：只有左界者得1分。
16．可求得
设该球的半径为R，则AO=R。由
+
，得
。
17．解：（I）设甲、乙两人通过测试的事件分别为A、B，则
，
2分
。
2分
∵A、B相互独立，
∴甲、乙两人都通过测试的概率为
。
3分
（II）∵A、B相互独立，
∴甲、乙两人都通过测试的概率为
。
3分
∴甲、乙两人至少有一人通过测试的概率为
。
2分
18．解：由
有
，
2分
即
。
2分
即
。
。
1分
∵A、B、C是三角形的内角，
，
。
2分
又∵b<a<c，∴A为锐角。
。
2分
。
2分
19．解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0) , B(a,a,0)，
C(0,a,0),P(0,0,a)
。
。
。
又
。
故异面直线AE、DP所成角为
。
7分
（II）∵F∈平面PAD，故设F(x,0,z)，则有
。
∵EF⊥平面PBC，∴
且
。
∴
又
，
从而
∴
，取AD的中点即为F点。
7分
20．解：
。
2分
（1）若
则
。
。
2分
整理，得
3分
（2）假设存在正实数k、t，使
，则
。
2分
化简，得
。
2分
、t是正实数，故满足上式的k、t不存在。
∴不存在这样的正实数k、t，使。
1分
21．解：在实施规划前，由题设
（万元），知每年只须投入40万，即可获得最大利润100万元。
则10年的总利润为W1=100×10=1000（万元）。 3分
实施规划后的前5年中，由题设知，每年投入30万元时，有最大利润
（万元）。
前5年的利润和为
（万元）。
3分
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的（60－x）万元于外地区的销售投资，则其总利润为
。
3分
当x=30时，W2max=4950（万元）。
从而10年的总利润为
（万元）。
2分
，故该规划方案有极大实施价值。
1分
22．解：（1）n=1时，
由
。
1分
当n≥2时
①
②
由②—①，有
2分
从而，
。
∴数列
是以1为首项，
为公比的等比数列。
∴
。
3分
∴ 
1分
（2）当
时，
。
1分
。
∵
③
。
④
由③—④，得
2分
。
。
1分
。
1分