复合函数的导数(二)
目的要求:
1. 掌握复合函数的求导法则.
2. 会用复合函数的求导法则解决一些简单的问题.
教学过程:
1.复合求导法则
让学生回答复合函数定义,求导法则,求导步骤.
本节将在应用中熟练掌握复合函数的求导.
3. 应用求导法则
(1)应用之一：对复合函数式求导
例2 求下列函数的导数:
(1)
y=
; (2)y=sinx
; (3)y=cos(3x-
); (4)y=
请学生上台完成.
答案:(1)
; (2)2xcosx; (3)-3sin(3x-); (4)
注:这里有分式型,根式型,三角函数型的复合函数求导.
师生一起评议.可表扬四位学生完成得较好.接着提请注意,熟练后可省写步骤,并作示范.
如,解(1)可表达为y
=
=-4(1-3x)
.(-3)=12(1-3x)这里最后结果可写负指数或分数指数。
出示教科书例3并讲解。
其中对u=
求u，可让学生在草稿上完成。此处，教师可作如下指导：
方法一 按商的求导法则求导。
方法二 先化为u=-1+
，即u=-1+v
，v=1-x，按复合函数求导。
（2）应用之二 解简单的应用问题
增例
当n
*时，求证：C
+2C+C
+……+nC
=n2
.
引导学生分析，联想到二项展开式（1+x）=C
+C
X+C X+……+C X.(*)
对比展开式通项C
x与待证和式通项kC
,可决定对(*)式求导并赋值x=1证得.
视学生水平由教师讲解或学生完全证明.
证明:由(1+x)=C+C x+C x+……+C x,
两边对x求导,得
n(1+x)﹒1=0+C+2
x+……+nC x,
令x=1,得
n﹒2=C+2C+……+nC.
注:应向学生讲清(1+x)是作为复合函数对x求导的.
对此题在思考.在<<排列,组合和概率>>一章中,我们用的证法是倒序相加法,通项变换法,不妨重温一下.
方法一 倒序相加法
令S=C+2C+……+(n-1) n+n C
(1)式右边倒序,写为
=n
+（n-1）
+（n-2）
+……+
注意到组合数性质 
=
(r=1,2,3,……,n)
(2) 式可改写为
=n
+(n-1) +(n-2)
+……+
将(1)﹑(3)两式相加(注意错位)得
2=n(+++……++)
即2S=n2
S=n2
即C+2 C
+……+n C
=n2
方法二 通项变化法
k
=k
=n
=n
即 k=n
在这一等式中顺次取k=1，2……,n,并相加得
C
+2 C+…… +n C=n C
+n C
+……+n C
=n (C+ C+…… + C)
=n 2
3.反馈练习
学生完成教科书练习第1 , 2题
4. 课堂小结
由y=f(u) ,u=
(x)可得复合函数y=f
.
关于复合函数的导数,要理解法则,掌握步骤,善于应用.
(1)
法则 y＇
= y＇
·u＇
(2) 步骤 分解---求导---回代(熟练后可省写步骤)
(3) 应用 能对复合函数求导;能解有关的应用问题
布置作业
教科书习题3 , 4 第2 (3) (4) , 3题.
研究题 已知曲线y=
+
(100-x) (0
) 在点M 处有水平切线,求点M的坐标.
略解: 易得
y＇=
_ .
令y＇=0 ,解得x=15 .
点M 的坐标是(15 ,76) .