高级中学2004届普通毕业班综合测试六
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、已知全集
，集合
，
，则
为（ ）
A、
B、
C、
D、
2、等差数列
共有
项,其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且
，则该数列的公差为 （ ）
A、3 B、
C、
D、
3、函数
的单调递增区间是（ ）
A、
B、
C、
D、
4、函数
的反函数是（ ）
A、
B、
C、
D、
5、过点
作直线，使其在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线的斜率为（ ）
A、 B、±1 C、或2 D、±1或2
6、不等式
在
上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
7、在等差数列{
}中,若
,则
的值为（ ）
A、20 B、22 C、24 D、28
8、2个好朋友一起去一家公司应聘，公司人事主管通知他们面试时间的时候说：“我们公司要从面试的人中招3个人，你们同时被招聘进来的概率是
”。根据他的话可推断去面试的人有（ ）个.
A、70 B、21 C、42 D、35
9、
( )
A、
B、0 C、
D、
10、如图：在棱长都相等的四面体
中，
、
分别为棱
、
的中点，连接
、
，则直线、所成角的余弦值为（ ）
A、
B、
C、
D、
11、已知双曲线的中心在原点，两个焦点为
和
，P在双曲线上，满足
且△F1PF2的面积为1，则此双曲线的方程是（ ）
A、
B、
C、
D、
12、北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有的全部出租车.若每年更新的车辆数比前一年递增10％，则2003年应更新现有车辆总数的（必要时，可参考1.14≈1.46；1.15≈1.61） （ ）
A、10% B、16.4% C、16.7% D、20%
二、填空题：把答案填在题中横线上.
13、等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝15，a3＋a6＋a9＝3，则S9＝ ．
14、
分别表示等比数列
的前
项、前项、前
项的和，若
，
等于
（用
表示）.
15、过点
的直线
将圆：
分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线的方程为
_____
__ .
16、给出下列四个命题：① 函数
为奇函数的充要条件是
=0；②函数
的反函数是
；③若函数
的值域是R，则
或
； ④ 若函数
是偶函数，则函数
的图象关于直线
对称。其中所有正确命题的序号是
.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、已知函数
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）求的单调递减区间；
（Ⅲ）函数的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？
18、已知：
、
、
是同一平面内的三个向量，其中
（Ⅰ）若
，且
，求的坐标；
（Ⅱ）若
且
与
垂直，求与的夹角θ.
19、求曲线
与直线
垂直的切线方程．
20、如图：直三棱柱
中，
，
。为
的中点，
点在
上且
.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小.
21、设a>0，且a≠1. 给定下列两个命题：
P：函数
在定义域上单调递增；
Q：不等式
的解集为
．
若P、Q有且只有一个正确，求实数a的取值范围．
22、在平面直角坐标系中，
为坐标原点，已知两点
、
，若点
满足
（
），点的轨迹与抛物线：
交于
、
两点.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）在
轴上是否存在一点
，使得过点
任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点。若存在，请求出
的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由.
高级中学2004届普通毕业班综合测试六参考答案
一、选择题：CBBCC CCBAC CB
二、填空题： 13、27 14、
15、
16、①②③
三、解答题：
17、解：（Ⅰ）由
由
∴函数的最小正周期T=
（Ⅱ）由
∴的单调递减区间是
.
（Ⅲ）
，∴奇函数
的图象左移
即得到的图象，
故函数的图象右移个单位后对应的函数成为奇函数. （注：第Ⅲ问答案不唯一）
18、解：（Ⅰ）设
， 
由
得 
或 
∴
（Ⅱ）
代入（※）中,
19、解：∵直线的斜率为
，∴切线的斜率为2
又
，∴
∴切线方程为
20、解：1）证：依题意知
，
且
为的中点，则也为中点， ∴
又∵三棱柱为直三棱柱， ∴
又
且 
、
，
故 .
2）解：由1）知，在
中过作
交
于，
连
，由三垂线定理有
为所求二面角得平面角
易知
，在
中，
，，
故
在
中 
， 故所求二面角的大小为
.
21、解：若命题P成立，即函数在定义域上单调递增，∴
若命题Q成立，即不等式的解集为
①当
时，原式变为
，不等式的解集为，
②当
时，由不等式的解集为，
可得
∴若命题Q成立，则有
。
∴要使命P或Q有且只有一个成立，则
的取值范围是
。
22、解：（Ⅰ）解：由
（
）知点的轨迹是
、
两点所在的直线，故 点的轨迹方程是：
即
由
∴
∴
∴
故
（Ⅱ）解：存在点
，使得过点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点
由题意知：弦所在的直线的斜率不为零
故设弦所在的直线方程为：
代入 
得 
∴ 
∴
故以为直径的圆都过原点
设弦的中点为
则
∴弦的中点的轨迹方程为： 
消去
得 
.