湖北省黄石二中2004年高考模拟试卷（一）
数 学
一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)
已知条件
,条件
,则
的
(A) 充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C) 既不充分也不必要条件 (D)充要条件
(2)
设
表示两条直线,
表示平面,给出下列四个命题
①若
∥
②若∥
③若
∥
④若
∥
其中正确的命题个数是
(A) 1 (B) 2 (C)3 (D)4
(3)
若
～
,则下列说法正确的是
(A) 
(B)
(C) 当
时,若总体小于
的取值为
,则
(D) 总体落在区间
内的事件称为小概率事件.
(4) 给出下列命题;
①若
均为第一象限角,且
,则
;
②若函数
的最小正周期是
,则
;
③函数
是奇函数;
④函数
在
上是增函数.
其中正确命题个数是
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)3
(5)
曲线
在点
处的切线方程为
(A) 
(B)
(C)
(D)
(6)
椭圆
的焦点在
轴上,长轴长是短轴长的
倍.则曲线
的离心率为
(A) 
(B)
(C)
(D)
(7)
设函数
,
的反函数为
.则
(A) 
(B)
1 (C)
(D)2
(8) 如图所示为
在
上的图像,则它们所对应的图像编号顺序是
(A) ①②③④ (B) ①③②④ (C) ③①②④ (D) ③①④②
(9)
(理科)设
在
上总是增函数,则实数
取值范围是
(A) 
(B)
(C)
(D)
(文科)函数
在区间
上递减，且有最小值1，则
的值是
(A)2 (B)
(C)3 (D)
(10)(理科)已知
,
,则
(A) 
≤
≤6 (B)
≤≤8
(C) 
≤≤
(D)
≤≤7
(文科)若不等式
成立的充分条件是
，则实数的取值范围是
(A) ≥3 (B)
≥1 (C)≤1 (D)≤3
(11)等比数列
中,
,
,则
(A)
(B)
(C)
(D)
(12)若函数
没有最小值,则实数的取值范围是
(A) 
(B)
(C)
≤1 (D)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二. 填空题: 本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
(13)已知数列前
项和为
,则
____________________.
(14)已知函数在R上连续,且
,则
____________-.
(15)(理)复数
和满足
,若
.则
______________.
(文)设
,则
__________________.
(16) 今年某校有4位报考艺术专业的学生参加艺术类的考试,同时该校有4名老师参加监考. 考试中心有10个考室,若要求该校任何两名考生不在同一考室,4位老师每两位必须在同一考室,但不得监考本校学生,则安排方法共有__________种.(结果用数据回答)
三. 解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是.
(1) 求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率;
(2)
求这位司机遇到红灯数的期望与方差.
(18)(本小题满分12分)
已知向量
且
.
(1)
求
;
(2)
求函数
的最值.
(19)(本小题满分12分,以下两题选做一题,若甲,乙都做,只按甲题计分)
(甲)长方体
中,
连接
过B作
交
,交于F.
(1)
求证:
;
(2)
求三棱锥
的体积;
(3)
求二面角
的正切值.
(乙)直四棱柱的高为6,底面是边长为4,
的菱形,
相交于
点,
与
相交于
点,点
是
的中点.
(1)
求二面角
的大小;
(2)
分别以射线
为轴,
轴,轴的正半轴建立空间直角坐标系,求点
的坐标,并求异面直线
所成角的大小.
(20)（本小题满分12分）
我国北方某城市严重缺水,曾一度取消全市的洗车行业.时间久了,车容影响了市容市貌.今年该市决定引进一种高科技产品污水净化器,允许洗车行开始营业,规定洗车行必须购买这种污水净化器,使用净化后的污水(达到生活用水标准)洗车.污水净化器的价格是每台100万元,全市统一洗车价格10元.该市今年的汽车总量是101000辆,预计今后每年汽车数量将增加2000辆.洗车行A经过测算,如果全市的汽车总量是x,那么一年内在该洗车行洗车的平均辆次是
x,该洗车行每年的其他费用是1万元.问:洗车行A从今年开始至少经过多少年才能收回购买净化器的成本?
（21）(本小题满分12分)
已知
为抛物线
上任意一点，直线
为过点
的切线，设直线交轴于点
.
,且
.
(1)
当点运动时,求点
的轨迹方程;
(2)
求点
到动直线的最短距离,并求此时的方程.
(22)(本小题满分14分,文科学生做(1),(2),理科学生做(1),(2),(3))
已知函数
与函数
图像关于
对称.且函数
,(其中
,
为常数)
(1)
求函数的定义域;
(2)
问是否存在实数
,使得
,若存在,请求出,若不存在,说明理由;
(3)
函数的定义域与值域能否同时为实数集
?并证明你的结论.
数学答案
一 选择题
1.A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.D 9.理D文D 10.理A文A 11.C 12.C
二 填空题
（13）61 （14）1 （15）理
文
（16）18900
三 解答题
(17)(1)因为这位司机第一二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯.所以
(2)设司机遇到红灯次数为随机变量
～
.
(18)(1)
(2)
当
时,
当
时,
(19)甲
(1)由已知
,又
∴
又 ∵ ∴
∴
∵ 
∴
又 ∵
由三垂线定理 
∵
∴
(2)在
中,
～
则
故
(3)由于
在平面
上的射影/
又 
又 
故 
故 
.
乙
(1)
由已知过作
,连接
,由
故 
即为二面角
的平面角.
易求 
(2)
由已知
由
设
的夹角为
故异面直线
与
所成角为
(20)设从今年开始至少经过年收回成本，
年内的汽车数量构成以101000为首,2000为公差的等差数列，汽车数量总和为
年内的洗车收入为
）
依题意有
）
化简得 
解得 
（年）
答:至少经过20年才能收回成本.
(21)设
因为
，所以过点A的切线方程为
.令
,B点坐标为(0,
又
消去，得
（2）设C到的距离为
，则
设
，则
的增函数
故C到的最短距离为
，此时的方程为
。
(22)由已知
关于对称可知
因此 
（1）
若使有意义，则须使
，由于
当
当
综上,函数的定义域
当
时, 
当
(2)由于的定义域关于直线
对称，且
的图像也关于直线对称，∴的图像有对称轴,且平行于轴, 即
.
(3)
当的定义域为时，由(1)知须有
当的值域为时,只要的值域
即须有使
≥0,但此时≤1矛盾
∴函数的定义域的值域不能同时为。