专题16 等差与等比数列
（李明）
等差与等比数列是最重要且应用广泛的有通项公式的数列，在高考中占有重要地位，成为每年必考的重点内容，这部分内容的基础知识有：等差、等比数列的定义及通项公式，前几项和公式以及等差、等比数列的性质，在解决有关等差，等比数列问题时，要注意运用方程的思想和函数思想以及整体的观点，培养分析问题与解决问题的能力。
☆考纲要求：掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式，前几项和公式并能运用知识解决一些问题。
☆知识结构与要点：
定义
通项
—等差中项 abc成等差
基本概念
推广 
前n项和
等差数列
当d>0(<0)
时{
为递增（减）数列
当d=0时
为常数
基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等
中共
成等差则
也成等差
定义:
通项 
等比中项：a b c成等比数列
基本概念
推广
前n项和
等比数列
与首末两端等距离的两项之积相等
成等比，若
成等差则
成等比
基本性质 当
或 
时 {为递增数列
当 
或
时 {为递减数列
当 q<0时 {为摆动数列
当 q=1时
{为常数数列
☆等差、等比数列的性质推广
☆典型例题
例1．在等差数列中
求
解法一 
那么
解法二：由
点评：在等差数列中，由条件不能具体求出
和d，但可以求出 与d的组合式，而所求的量往往可以用这个组合式表示，那么用“整体代值”的方法将值求出
（2）利用：将所求量化为已知量也是“整体代值”的思想，它比用和 d表示更简捷。
例2．等差数列前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为
解法一 用方程的思想，由条件知
|
也成等数列
由②Χ2-①得
代入
解：在等差数列中由性质知
成等差数列
解法三 等差数列中
即
为以为首项公差为
的等差数列 依题意条件知
成等差 
点评：三种解法从不同角度反映等差数列所具有的特性，运用方程的方法、性质或构造新的等差数列都是数列中解决问题的常用方法且有价值，对解决某些问题极为方便。
例3 在等比数列中
求
分析：在等比数列中对于
五个量一般“知三求二”其中首项5元比是关键，
因此
解法一
又
则
解法二: 
而 
代入
中得
故
点评：根据等比数列定义运用方程的方法解决数列问题常用解法二更为简捷。
例4．在等差数列 中
等比数列
中
则 
解：
点评：此题也可以把和d 看成两个未知数，通过 列方程，联立解之d=
。再求出
但计算较繁，运用
计算较为方便。
例5．设等差数列 前n项和为已知
（1）求公差d的范围 （2）指出
中哪一个值最大，并说明理由
解：（1）由题义有 
由 
则代入上式有 
(2)
d<0 所以
最小时最大 当
时
所以 当n=6 时最小 故 
最大
点评：本题解法体现了函数思想在处理数列问题中的运用，判断数列随N增大而变化规律的方法与判断函数增减性的方法相同。
例6 已知a>0 
数列是首项5元比都为a的等比数列，
(n
如果数列中每一项总小于它后面的项，求a的取值范围。
解：由已知有 
所以
因此由题意 对任意 
成立 即
即
对任总成立，由
知
那么 由 a>0 知 
或 
即（Ⅰ） 
或 （Ⅱ） 
由Ⅰ知
a>1 中Ⅱ 
为递增的函数 所以
故a的取值范围为
或 a>1
点评：这是道数列与不等式综合的题目，既含有字母分类讨论又要运用极限的思想和函数最值的观点来解决问题，同时还要判断函数
的单调性，具有一定的综合性
例7 已知数列的前n项和为，又有数列它们满足关系b1 =a1 对于有
求证 是等比数列
证明：
那么
或 
即 
又
由 
可得
设 
对 均成立
因此 是等比数列
点评：证明数列为等比数列一定要根据定义来证明，大要注意n 的取值范围如不不包n=1的值，还需验证对 n=1也要成立。
☆高考精选
1．（97全国高考）设是等差数列 的前n项和，已知
与
的等比中项为
与 的等差中项为1，求等差数列的同项
解：由已知列出方程组 
将与d代入
得 
解得 
或 
或 
经验证 或 
均满足题意 故为所求通项。
点评，以上为常规思路也可根据 为等差数列从而求出 
解三。
2．（96全国高考）设等比数列 前 n项和为 若 
求数列的公比q
解：为q=1时 
虽然 
与题设矛盾
当 
时 
3．（95全国高考）设 是由正数组成等比数列 是具前n项的和证明
分析：只要能比较出 
与
的大小问题得以解决
证明：设等比数列的首项为 
公比
当 
时 
当 
时
即
☆疑难解析
1． 问：等差数列与等比数列的相同与不同之处是什么？
答：等差与等比是两类特殊数列，两类数列的“交”是非零常数列。它的不同之处，等
差数列中项存在唯一，而等比数列的中项是有条件限制的且昔存在也不唯一，等差数列的前 项和当 
时，是一个唯一确定的关于n的二次函数，等比数列的前 n项和公式是对q类给出的应用，这个公式时要注意讨论q是否取“1”
2．问等差数列的前n项和是关于n的二次函数，在求最值时应注意什么？
答：①由于 
自变量为自然数而 
的自变量取值范围为实数所以在求最值时要取离对称轴
最近的点 
为最值点
②若 
的对称轴 
则 
都是
的最值 此时
而 
必为 的最小值
3．问在等比数列中若m+n=p+q则
此性质需注意些什么？
答：一是要考虑作积各项的下标和是否相等或为整数倍以及各项的项数是否符合性质要求，二是要注意舍去增根，三是可推广为若m+n=2k (m,n k
N) 则
如已知等比数列中 
求 
解：
故有 
解得
或-5
由于 
所以 -5 应舍去 即
☆过关检测
一．选择题
1．在等差数列
中 
则
( )
A．3 B．4 C．6 D．2
2．等差数列中前4项和为40后中项的和为80所有项的和为210则项数n为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
3．设
故数列a b c构成（ ）数列
A．是等差但不是等比 B．是等比但不是等差
C．既四等比又是等差 D．既不是等比也不是等差
4．已知
–9 a1 a2 –1这四个数成等差数列–9 b1 b2
b3 –1。这5个数成等比数列则
等于（ ）
A．-8 B．8 C．8或-8 D．
5．已知数列 中
且 
则使 
成立的n的值是（ ）
A．21或22 B．21 C．22 D．23
6．在正数等比数列中已知
则 
（ ）
A．11 B．10 C．8 D．4
二．填空题
7．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的中间项为
8．等差数列的公差 d>0前n项和为 已知 
, 
那么
9．等比数列中若
则
10．已知等差数列
的公差为 且
成等比数列
则
三．解答题：
11．在等比数列 中若
且 
求自然数n的取值范围
12．设数列
的前n项和为
（1）写出这个数列的前三项
（2）证明数列除去首项所成的数列
是等差数列
13．等比数列
的公比为q,作数列
使
（1）求证数列也是等比数列
（2）已知 
问n为何值时，数列的前n项和大于数列的前n项和’
参考答案
一．选择题
1.C
2.B 3.A 4.A 5.B 6.A 7. 11 8. 70 9.
10.
11．由已知
或 
当, 时 
当 ，时
12．（1）
（2）
时 
则
由此得证
13．（1）
为常数，则是常数列
（2）
当
时 
又 则 
即
即
时 