天津市河西区2005—2006学年度第一学期高三年级统一调研模拟试卷
数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．与直线
平行的曲线
的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．设
，其中
是大于1的正整数，若
，
，则
的取值集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则
的解析式可取为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知数列
中，
，
，且满足
（
），则
( )
A．16 B．
C．32 D．
5．若
，则下列不等式：①
；②
；③
；④
中，正确的不等式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知
、
是非零向量且满足
，
，则与的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．从4名男生和5名女生中任意选出3人参加一个会议，其中至少有1名男生和一名女生，则不同的选派方案有（ ）
A．140种 B．84种 C．70种 D．35种
8．铜质的球体由于温度的变化，其半径增加了
，则它的体积约增加了（ ）
A． B．
C．
D．
9．函数
和函数
的图像的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．设全集
，集合
，集合
，那么点
的充要条件是（
）
A．
或
B．且
C．
或
D．且
11．定义在区间
（
）上的函数
的值域是
，则
的最大值
和最小值
分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．若
，定义：
，例如：
，则函数
的奇偶性是（ ）
A．是偶函数不是奇函数 B．是奇函数不是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上。
13．不等式
的解集是
。
14．凸多面体是由4个三角形和5个四边形围成，则其顶点数是 。
15．
如图，向量
、
、
的长度分别是2、
、1，
、
，则
+ 。
16．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为
，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量=
。
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
函数
（其中
、
）的图像经过三点
、
、
。
（1）求
的值；
（2）是否存在常数
，使
恒成立？若存在，求出，若不存在，说明理由。
18．（本小题满分12分）
设棋子在正四面体
的表面从一个顶点移向另外三个顶点是等可能的。现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动：若投出的点数是奇数，则棋子不动；若投出的点数是偶数，棋子移动到另一顶点。若棋子的初始位置在顶点
，回答下列问题。
(1)投了2次骰子，棋子才到达顶点
的概率是多少？
(2)投了3次骰子，棋子恰巧在顶点的概率是多少？
19．（本小题满分12分）
设函数
（常数
且
）的定义域是
。如果对于定义域内的每一个
，都有
，那么
。
（1）证明上述命题；
（2）写出上述命题的逆命题。若逆命题正确，请加以证明；若逆命题不正确，请举出一个反例说明。
20．（本小题满分12分）
如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，
（1）线段
上是否存在一点
使得
平面
，若存在，确定点的位置，若不存在，说明理由；
（2）点在线段上，若二面角
的大小是
，求
的长；
（3）点
在对角线
上，使
平面
，求
。
21．（本小题满分12分）
已知定点
，定直线
，动直线
（其中
）。
证明：（1）动直线上一定存在相异两点
，它们到点
与到直线
的距离相等；
（2）对（1）中的相异两点，证明：
；
（3）对（1）中的相异两点，以为焦点的动椭圆经过坐标原点
，设动椭圆的离心率是
，证明：
。
22．（本小题满分14分）
数列
的前项和
（
），且
，
（）。
（1）求数列的通项；
（2）已知定理：“若函数在区间
上是凹函数，
，且
存在，则有
”。若函数
（）在
上是凹函数，试判断
与
的大小；
（3）求证：
。
数学答案
一、选择题：BDCD CACC CCCA
二、填空题：13.
；14.9；15.
；16.72。
三、解答题：
17．（1）由已知
……2分，
……4分，解得
……8分；
（2）由
，故存在
使恒成立……12分。
18．棋子从顶点移动到顶点
的概率都是
，而不移动的概率是
……2分。（1）分两种情形：①第一次不动，第二次移到，即
；……4分，②两次都动，即
或
，故投了2次骰子，棋子才到达顶点的概率是
……6分。
（2）①两次停在相同顶点：
、
、
；②一次停在相同的点：
、
、
、
、
、
；③每次都向其它顶点移动：
、
、
、
、
。……10分
所以投三次骰子，棋子恰巧在顶点的概率是
。……12分
19．（1）因为
时都有，故
……2分，当
时，
，当
时，
，即总有
……4分，因为所以
，即……6分；
（2）逆命题是：设函数（常数且）的定义域是。如果，那么对于定义域内的每一个，都有。……9分，此逆命题是错误的。容易构造例子：
时，，但是
，所以逆命题错误。……12分
20．（1）如图，若点存在，由平面，得
，因为
，所以
，这与
是正三角形矛盾，故点不存在；……4分
（2）过作
垂足为
，连
，由于
平面
，故
，
是二面角的平面角，
，即
，
，在
中，由正弦定理
，故
；……8分
（3）由于
，所以平面
，点是直线与平面
的交点。易见
∽
，所以
。……12分
21．（1）到点与到直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，方程为
，由方程组
，即
，因为，且
，故方程组有两组不同的解，即直线上一定存在相异两点，它们到点与到直线的距离相等；……4分
（2）设
、
，显然
都是非零向量，要证，只要证
，即
，而
、
，即证
，即
，由（1）
是方程的两根，即
，
，此时
，故，即；……8分
（3）动椭圆长轴
，焦距
，故
，
（当且仅当
时取等号），由于直线与轴不垂直，故
，所以。……12分
22．（1）
时，
，
；
时，
，所以有
，即
，当
时，
，此时
。综上
。5分
（2）由于
，根据
令
，可得
；……10分
（3）由于
，所以
，又由（2）
，故。……14分