高级中学2004届普通毕业班综合测试五
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、设方程
的实数解集为
，方程
的实数解集为
，则下列各式中正确的是 （ ）
A、
B、
C、
D、
2、函数
的极大值是 （ ）
A、3
B、
C、
D、7
3、已知直线
与直线
互相垂直，则实数
的值为（ ）
A、
或
B、或
C、1或
D、1或
4、如果
，那么在①
；②
；③
；④
中，正确的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
5、已知
，则
是
为纯虚数的
（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、不充分不必要条件
6、定义在
上的函数
是奇函数，又是以2为周期的函数，那么
的值等于
（ ）
A、－1 B、0 C、1 D、4
|
| －1 | 0 | 1 |
| P |
|
|
|
7、已知随机变量
的分布列是则D等于（ ）
A、
B、
C、
D、
8、已知m，
是异面直线，那么：①必存在平面
，过m且与平行；②必存在平面
，过m且与垂直；③必存在平面
，与m，都垂直；④必存在平面
，与m，的距离都相等。其中正确的结论是（ ）
A、①② B、①③ C、②③ D、①④
9、要得到函数
的图象，可以把函数
的图象（ ）
A、向左平移
个单位 B、向右平移个单位 C、向左平移
个单位 D、向右平移个单位
10、已知点
及点
，C是圆
上一个动点，则△ABC的面积的最小值为（ ）
A、
B、
C、
D、
11、设
的展开式中的各项系数之和为P，而它的二项式系数之和为S。若P+S=272，那么展开式中
项的系数是 （ ）
A、81 B、54 C、12 D、1
12、过双曲线
的右焦点，斜率为2的直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的左、右两支上，则双曲线的离心率e的取值范围是
（ ）
A、
B、
C、
D、
二、填空题：把答案填在题中横线上.
13、一个样本分成若干组，其中某组的频数和频率分别是8和0.2，则这个样本的容量为 。
14、已知
是非零向量，且
，有公共起点。若
的终点共线，则m，n满足的条件是
。
15、已知
，则
。
16、已知随机变量
服从二项分布
，则
的值为
。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17、已知：函数
。
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当函数取得最大值时，求自变量
的集合。
18、已知函数
在
处有极值，曲线
在
处的切线平行于直线
试求函数的极大值与极小值的差。
19、设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6。求：
（1）同时发射一发炮弹，击中飞机的概率；
（2）若有一架敌机入侵领空，要想有99％以上的概率击中它，至少需要多少门这样的高射炮？（取
）
20、在长方体
中，
，连结
，过
作
交
于
，交于
。
（1）求证：
平面
； （2）求
与平面所成角的大小。
21、已知正数数列
的前n项和
（1）求
；（2）推测
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论；（3）求
.
22、已知定义域为
的函数同时满足：
（1）对于任意
，总有
；（2）
；
（3）若
，则有
（Ⅰ）试求
的值；
（Ⅱ）试求函数的最大值；
（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数对一切实数，都有
。
高级中学2004届普通毕业班综合测试五参考答案
一、选择题：CDBBB BADAA DD
二、填空题：13、40 14、
15、
16、
三、解答题：17、解：
∴的最小正周期
。
当取得最大值时，只须
，即
∴当取得最大值时，自变量的集合为
。
18、解：
，由于在处有极值，∴
即
①又 ∵处的切线平行于，∴
即
②
解①②得
，∴
令
，得
，
由于在
附近，
左正，右负；而在附近，左负，右正，所以是函数的极大值，
是函数的极小值，于是
，故函数的极大值与极小值的差为4。
19、解：（1）
，即同时发射一发炮弹,击中飞机的概率为
。
（2）设至少需要n门这样的高射炮，依题意
，即
，两边取对数得
。故至少需要6门这样的高射炮才能有99％ 以上的概率击中飞机。
20、解：（1）连结
，
平面
。
。由三垂线定理得
。同理
，故平面
（2）设平面于
，连
，则
为与平而所成的角，在
中，
，
，即与平面所成的角为
21、解：（1）由
得：当
时，
，∵
，∴
，即
；当
，
，由 
即
；
当
时 
， 由 
得
，即 
（2）推测
数学归纳法证明略
（3）由（2）可知 
22、（Ⅰ）令
，依条件（3）可得
，即
。
又由条件（1）得
，则
（Ⅱ）任取
，可知
，则
即
，故
，于是当
时，有
因此，当时，有最大值为1。
（Ⅲ）证明：研究①当
时，
②当
时，首先，
，∴
，显然，当
时，
成立。
假设当
时，有
成立，其中
，那么当
时，
，可知对于
，总有
，其中
，而对于任意
，存在正整数
，使得
，
此时
，③当时，
综上可知，满足条件的函数，对
，总有成立。