高考浙江省普通高等学校招生统一考试文科数学预测试卷

2006浙江省普通高等学校招生统一考试模拟试卷

数　学　

参考公式：

　　如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)

　　如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)

　　如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P_n(k)=p^k(1-p)^n-k

　　正棱锥、圆锥的侧面积公式S_锥侧=cl，其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长

　　球的表面积公式S=4πR²，其中R表示球的半径

　　球的体积公式V=πR³，其中R表示球的半径

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.设M和m分别表示函数y=2sinx-1的最大值和最小值，则M+m等于

　A.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.2

　C.-2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.-1

2.设集合M={xx²-x＜0，x∈R＝，N={xx＜2，x∈R＝，则M、N的关系为

　A.N M

　B.M∩N=M

　C.M∪N=M

　D.M∪N=R

3.函数y=log₂(1-x)的图象是

  A　　　　　　　　　　 B　　　　　　　　　　  C　　　　　　　　　  D

4.椭圆x²+my²=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为

  A.　　　　　　　　 B.　 　　　　　　　C.2　　　　　　　　  D.4

5.设S_n是等差数列｛a_n｝的前n项和，若，则等于

  A.　　　　　　　  B.　　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

6.曲线y=x⁴上的点到直线x-2y-1=0的距离的最小值是

  A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

7.已知一个四面体的5条棱长都等于2，则它的体积的最大值为

  A.　　　　　　　　 B.　　　　　　  C.1　　　　　　　　　 D.2

8.直线(3m+2)x-(2m-1)y+5m+1=0必过定点

  A.(-1，1-)　　　　　　　　　　　　　　  B.(1，1)

  C.(1，-1)　　　　　　　　　　　　　　　 D.(-1，1)

9.如果一个三位正整数的中间一个数字比另两个数字小，如305，414，879等，则称这个三位数为凹数，那么所有凹数的个数是

  A.240　　　　　　　  B.285　　　　　　　 C.729　　　　　　　　 D.920

10.对抛物线C：y²=4x，我们称满足y₀²＜4x₀的点M(x₀，y₀)在抛物线的内部，若点M(x₀，y₀)在抛物线内部，则直线L：y₀y=2(x+x₀)与曲线C

　A.恰有一个公共点　　　　　　　　　　　　  B.恰有两个公共点

　C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点　　D.没有公共点

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)

11.已知a=3，b=5，且a·b=12，则a在b的方向上的投影为______.

12.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样取一个样本容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n=______.

13.在(1-x)(1+x)¹⁰的展开式中，x³的系数为______.(用数字作答)

14.设函数f(x)=lg(x²+ax-a-1)，给出下列命题：①f(x)有最小值；②当a=0时，f(x)值域为R；③当a＞0时，f(x)在[2，+∞)上有反函数；④若f(x)在区间[2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4，其中正确命题的序号为______.

　　三、解答题(本大题共6小题，共84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分14分)

　已知向量a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，a-b=.

　(1)求cos(α-β)的值；

　(2)若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα的值.

16.(本小题满分14分)

　一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算这一时间段内：

　(1)恰有一套设备能正常工作的概率；

　(2)能进行通讯的概率.

17.(本小题满分14分)

　如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，PA=1.

　(1)在BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，说明理由；

　(2)若BC边上有且仅有一个点Q，使PQ⊥QD，求AD与平面PDQ所成角的正弦值；

　(3)在(2)的条件下，能求出平面PQD与平面ABP所成的角的大小吗？

18.(本小题满分14分)

　设函数f(x)=-x³+2ax²-3a²x+b，0＜a＜1.

　(1)求函数f(x)的单调区间、极值；

　(2)若当x∈[a+1，a+2]时，恒有f＇(x)≤a，试确定a的取值范围.

19.(本小题满分14分)

　(1)已知等比例｛a_n｝的公比为q，前n项和为S_n，是否存在常数C，使数列｛S_n+C｝也成比数列？若存在，求出C的值；若不存在，说明理由.

　(2)设等比例数列｛a_n｝的前n项和为S_n.已知S₃，S₉，S₈成等差数列，S₁₆-S₆，S₁₀，xS₅成等比数列，求x的值.

20.(本小题满分14分)

　以O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系.设·=1，点F的坐标为(t，0)，t∈[3，+∞)，点G的坐标为(x₀，y₀).

　(1)求x₀关于t的函数x₀=f(t)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断；

　(2)设△OFG的面积S=，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G，求当取得最小值时椭圆的方程；

　(3)在(2)的条件下，若点P的坐标为(0，)，C、D是椭圆上的两点，且=λ(λ≠1)，求实数λ的取值范围.

参考答案

　　一、选择题

　　1.C　M=2-1=1，m=-2-1=-3，∴M+n=1-3=-2.

　　2.B　M=(0,1)，N=(-2，2)，M∩n=(0，1)=M.

　　3.C　由定义域知x＜1，故排除A、B，由函数单调递减，故选C.

　　4.A　椭圆方程为，由题意得=2×1，∴m=4.

　　5.A　设S₄=m,则S₈=3m，∴S₈-S₄=2m，由等差数列性质知，S₁₂-S₈=3m，S₁₆-S₁₂=4m，∴S₁₆=10m，∴.

　　6.D　设直线L平行于直线y=2y+1,且与曲线y=x⁴相切于点P(x₀，y₀)，则所求最小值d，即点P到直线y=2y+1的距离，y′=4x³=.

　　∴x₀=，y₀=.

　　∴.

　　7.C　设PB=PC=AB=BC=AC=2，则当面PBC⊥面ABC时，四面体PABC体积最大，V=··=1.

　　8.D　代入检验知直线过定点(-1，1).

　　9.B　分别将0，1，2，3……8放在十位上，则凹数个数为

　　9²+8²+7²+…+1²=×9×(9+1)×(2×9+1)=285.

　　10.D　由L与C方程消x得y²-2y₀y+4x₀=0(*)，Δ=4y₀²-16x₀=4(y₀²-4x₀)＜0.

　　∴方程(*)无实根，∴l与C无公共点.

　　二、填空题

　　11.　∵a·b=abcosθ=12，b=5，∴acosθ=.

　　12.200

　　13.75　.

　　14.②③

　　三、解答题

　　15.解：(1)∵a=(cosα，sinα)，b(cosβ，sinβ)，

　　∴a-b=(cosα-cosβ，sinα-sinβ).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　　∵a-b=，

　　∴，　　　　　　　　　　　　　　  4分

　　即2-2cos(α-β)=.∴cos(α-β).　　　　　　　　　　　　　　　　  7分

　　(2)∵0＜α＜，＜β＜0，∴0＜α-β＜π.　　　　　　  　　　　　 9分

　  ∵cos(α-β)，∴sin(α-β)=.　 sinβ=，∴cosβ=.　　　　12分

　  ∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=·+·()=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  14分

　　16.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B，由题意知

　　P(A)=p³，P(B)=p³.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  2分

　　P()=1-p³，P()=1-p³.

　　(1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A·+·B)=P(A·)P(·B)　 4分

　　=p³(1-p³)+(1-p³)p³=2p³-2p⁶.　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　7分

　　(2)解法一：两套设备都能正常工作的概率为P(A·B)=P(A)·P(B)=p⁶.　　　　9分

　　至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为P(A+B)+P(AB)=2P³-2P⁶+P⁶=2P³-P⁶.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分

　  解法二：两套设备都不能正常工作的概率为P(·)=P()·P()=1(1-p³)².

9分

　　至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为

　　1-P(·)=1-P()·P()=1(1-p³)²=2p³-p⁶.　　　　　　　　　　　　　  13分

　  答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p³-2p⁶，能进行通讯的概率为2p³-p⁶.　　14分

　　17.解：(1)当BC＜2时，不存在；当BC=2时，存在唯一；当BC＞2时，存在两个.

4分

　　(2)此时，BC=2，Q为BC中点，连AQ，作AE⊥PQ于E.

　　∵DQ⊥PA，DQ⊥PQ，∴DQ⊥面PAQ.∴PDQ⊥面PAQ.∴AE⊥面PDQ，AE=，AD=2，sinθ=即正弦值为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

　　(3)∵PA⊥面ABCD，AB⊥DA，AB⊥BC，

　　BC面PBA，DA⊥面PBA，cosθ=.　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分

　　S_△PAB=·1·1=，S_△PDQ=··.

　　∴cosθ，即大小为arccos.　　　　　　　　　　　　　　　 14分

　　18.解：(1)f′(x)=-x²+4ax-3a².

　　令f′(x)=-x²+4ax-3a²=0，

　　得x=a或x=3a.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　　由表

x		a		3a
y′	-	0	+	0	-
y	递减		递增	b	递减

　　可知：当x∈(-∞,a)时，函数f(x)为减函数；

　　当x∈(3a,+∞)时，函数f(x)也为减函数；

　　当x∈(a,3a)时，函数f(x)为增函数；　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　当x=a时，f(x)的极小值为；

　　当x=3a时，f(x)的极大值为b；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  7分

　　(2)由f′(x)≤a，得-a≤-x²+4ax-3a²≤a.

　　∵0＜a＜1，

　　∴a+1＞2a，f′(x)=-x²+4ax-3a²，在[a+1，a+2]上为减函数.　　　　　　  　 10分

　　∴[f′(x)]_max=f′(a+1)=2a-1，

　　[f′(x)]_min=f′(a+2)=4a-4.

　　于是，问题转化为求不等式组的解.

　　解不等式组，得≤a≤1.

　　又0＜a＜1，∴所求a的取值范围是≤a≤1.　　　　　　　　　　　　　　  14分

　 19.解：(1)①q=1时，不存在C. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

　　②S_n=(q≠1)，S_n=·qⁿ.

　　∴C=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  6分

　　(2)①当q=1时，S₃=3q₁，S₈=8q₁，S₉=9q₁，不合题意.　　　　　　　　　　　　 8分

　　②当q≠1时，，

　　∴，.

　　∴且q≠1，又成等比数列，

　　∴S₁₀²=xS₅(S₁₆-S₆).　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

　　∴

　　∴(1-q¹⁰)²=x(1-q⁵)(q⁶-q¹⁶).

　　∴1+q⁵=xq⁶，又2q⁶=1+q⁵.

　　∴2q⁶=xq⁶，而且q≠0.∴x=2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

　　20.解：(1)由题意知，

　　，则.

　　解得.

　　设t₁＞t₂≥3，则

　　∵t₁-t₂＞0，t₁t₂-1＞0，t₁t₂＞0，

　　∴f(t₁)-f(t₂)＞0，f(t₁)＞f(t₂)，

　　函数f(t)在区间[3，+∞]上单调递增.　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　(2)由S=得y₀=.

　　∴点Q的坐标为(t+),

　　∵函数f(t)在区间[3，+∞]上单调递增，

　　∴当t=3时，取得最小值，此时点F、G的坐标分别为(3，0)、().

　　由题意设椭圆方程为.

　　由点G在椭圆上，得，解得b²=9.

　　∴所求椭圆方程为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  8分

　　(3)设C、D的坐标分别为(x,y)、(m,n)，则.

　　由=，得=，x=m，y=n-.

　　∵点C、D在椭圆上，

　　∴.

　　消去m，得n=.

　　又∵n≤3，∴≤3，解得≤≤5.

　　∴实数的取值范围是.　　　　　　　　　　　　　　　　　  14分