苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查
数 学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么
P(A·B)=P(A)·P(B) 其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.请将正确答案前的字母填在题后的括号内.
1．不等式
的解集是 （ ）
A．
B．（3，+∞） C．（2，3） D．
2．设
，则
的值为 （ ）
A．
B．－ C．
D．－
3．设条件A：几何体的各个面都是三角形，条件B：几何体是三棱锥，则条件A是条件B的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
|
|
，则函数
的图象为 （ ）
5．设集合M={a，b，c}，N={0，1}，映射f：M→N满足
，则映射f：M→N的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设二项式
的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S.若有P+
S=272，则n等于 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
7．圆心在抛物线
上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．过△ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于点D、E.若
则
的值为 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．给出下列四个命题：
（1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.
（2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱，则其顶点数V、面数F满足的关系式为2F－V=4.
（3）若直线l⊥平面α，l∥平面β，则α⊥β.
（4）命题“异面直线a、b不垂直，则过a的任一平面与b都不垂直”的否定.
其中，正确的命题是 （ ）
A．（2）（3） B．（1）（4） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4）
10．一个正方体，它的表面涂满了红色.在它的每个面上切两刀，可得27个小立方块，从中任取2个，其中恰有1个一面涂有红色，1个两面涂有红色的概率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．设三棱锥的三个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为
，则其外接球的表面积为（ ）
A．48
B．36 C．32 D．12
12．设
是函数F(x)的单调递增区间，将F(x)的图象按a
平移得到一个新的函数G(x)的图象，则G(x)的单调递减区间必定是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上.
13．某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为 .
14．若双曲线
过点
，则该双曲线的焦距为
.
15．某地区预计2004年的前x个月内对某种商品的需求总量
（万件）与月份
的近似关系式是
，则2004年的第x月的需求量g(x)（万件）与月份x的函数关系式是
.
16．若直线y=x是曲线
的切线，则a=
.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
张华同学骑自行车上学途中要经过4个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是
（假设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的）.
（1）求张华同学某次上学途中恰好遇到3次红灯的概率.
（2）求张华同学某次上学时，在途中首次遇到红灯前已经过2个交叉路口的概率.
18．（本小题满分12分）
已知函数
的周期为
（1）求ω的值.
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f(x)的值域.
19．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.
（1）PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论.
|
（3）求证：平面PAD⊥平面PAB.
20．（本小题满分12）
设函数
（1）求函数的单调区间、极值.
（2）若当
时，恒有
，试确定a的取值范围.
21．（本小题满分12分）
设二次函数
的所有整数值的个数为g(n).
（1）求g(n)的表达式.
（2）设
（3）设
的最小值.
22．（本小题满分14分）
以O为原点，
所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系.设
点F的坐标为（t，0），
，点G的坐标为
（1）求
关于t的函数
的表达式，判断函数
的单调性，并证明你的判断.
（2）设△OFG的面积
，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G，求当
取得最小值时椭圆的方程.
（3）在（2）的条件下，若点P的坐标为
，C、D是椭圆上的两点，且
，求实数
的取值范围.
|
数学参考答案
一、选择题
1.D 2.B 3.B 4.C 5.C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.C 11.B 12.D
二、填空题
13．15、2、3 14．
15．
（注：未写x的取值范围可视作正确） 16．1或
三、解答题
17．（1）经过各交叉路口遇到红灯，相当于独立重复试验，所以恰好遇到3次红灯的概率为
…………6分
（2）记“经过交叉路口遇到红灯”事件A.
张华在第1、2个交叉路口末遇到红灯，在第3个交叉路口遇到红灯的概率为
…………10分
=
…………12分
18．（1）
…………3分
由函数的周期
…………5分
函数的表达式为
…………6分
（2）由题意，得
…………8分
又
∴
…………9分
∴
………………10分
∴
即函数的值域为[－1，
].…………12分
19．解答一：
（1）PA与BD相互垂直.证明如下：
|
连结PO.…………1分 ∵PB=PC，∴PO⊥BC.
又∵平面PBC⊥平面ABCD，
平面PBC∩平面ABCD=BC，
∴PO⊥平面ABCD.…………2分
在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD，
∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°，
即AO⊥BD. ∴PA⊥BD. …………4分
（2）连结PE，由PO⊥平面ABCD，AO⊥BD，可得PE⊥BD，…………5分
∴∠PEO为二面角P—BD—C的平面角.………………6分
设AB=BC=PB=PC=2CD=2a，则在Rt△PEO中，PO=
∴二面角P—BD—C为
…………8分
（3）取PB的中点N，连结CN，由题意知：平面PBC⊥平面PAB，则同“（1）”可得CN⊥平面PAB. ………………9分
取PA的中点M，连结DM、MN，则由MN//AB//CD，MN=AB=CD，得四边形MNCD为平行四边形. ∴CN//DM. …………10分 ∴DM⊥平面PAB.…………11分
∴平面PAD⊥平面PAB.………………12分
解答二：
|
△PBC是等边三角形，
得PO⊥底面ABCD.…………1分
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，
过点O与AB平行的直线为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O—xyz.……2分
设CD=1，则在直角梯形中，AB=BC=2，
在等边三角形PBC中，PO=
.…………3分
∴A（1，－2，0），B（1，0，0）、D（－1，－1，0）、
P（0，0，）.
…………4分
（1）PA与BD相互垂直.证明如下：∵
∴
…………6分
（2）连结AO，设AO与BD相交于点E；连结PE.
由
得
又∵AO为PA在平面ABCD内的射影，
∴PE⊥BD，∠PEO为二面角P—BD—C的平面角.…………8分
在Rt△BEO中，OE=OB·
在Rt△PEO中，
∴二面角P—BD—C为……9分
（3）取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为（
）.……10分
又
，
，
∴
∴
………………11分
∴DM⊥平面PAB. ∴平面PAD⊥平面PAB.…………12分
20．（1）
…………1分
令
…………2分
由表
| x | a |
| 3a |
| |||
| f′ | － | 0 | + | 0 | － | ||
| f | 递减 |
| 递增 | b | 递减 |
可知：当
时，函数为减函数，当
时。函数也为减函数；当
时，函数为增函数.…………5分
当x=a时，的极小值为
时，的极大值为b.……6分
（2）由
……7分
∵0<a<1， ∴
上为减函数.……8分
∴
…………9分
于是，问题转化为求不等式组
的解.…………10分
解不等式组，得
…………11分
又0<a<1， ∴所求a的取值范围是
…………12分
21．（1）当
时，函数
的值随x的增大而增大，则的值域为
…………2分
∴
…………3分
（2）
…………4分
①当n为偶数时，
=－[3+7+……+（2n－1）]=－
…………6分
②当n为奇数时，
=－
………………8分
∴
（3）由
, ①
①×，得
②…………9分
①－②，得
=
∴
………………11分
则由
，可得l的最小值是7.…………12分
22．（1）由题意知：
………1分
解得
…………2分
设
=
∵
∴
函数在区间[3，+∞）上单调递增.…………4分
（2）由
…………5分
∴点G的坐标为
…………6分
∵函数在区间[3，+∞]上单调递增，
∴当t=3时，取得最小值，此时点F、G的坐标分别为
（3，0）、（
）.……7分
由题意设椭圆方程为
…………8分
由点G在椭圆上，得
解得b2=9.
∴所求椭圆方程为
…………10分
（3）解答一：设C、D的坐标分别为（x，y）、（m，n），
则
由
………11分
∵点C、D在椭圆上，∴
消去m，得
…………12分
又∵
∴
…………13分
∴实数λ的取值范围是
…………14分
解答二：设点A、B的坐标分别为（0，3）、（0，－3），过点A、B分别作y轴的垂线，交直线PC于点M、N.
若
∴1
则
…………12分
若
同理可得
……13分
综上，实数λ的取值范围是…………14分