长春第二次摸拟底考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知集合
，则集合M与N的关系为
（ ）
（A）M=N
（B）
（C）
（D）
（2）下列函数中既是在
上是增函数，又是以
为周期的偶函数的是
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）（文）若
是直二面角，直线
且b与a不重合，则
的一个充分但不必要条件是
（ ）
（A）
，
（B）
且
（C）
，
（D）
（理）复数
对应的向量按逆时针方向旋转120°后得到的向量对应的复数
，则复数z等于
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）（文）同（理）第3题
（理）已知双曲线的两条渐近线方程分别为
和
，则该双曲线离心率为
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）同（理）第4题
（理）在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，若AD=BC，且AD与BC成60°角，则异面直线EF和BC所成角的大小为 （ ）
（A）30° （B）60° （C）30°或60° （D）90°
（6）（文）同（理）第5题
（理）函数
的单调递增减区间为
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）（文）同（理）第6题
（理）有六支足球队争夺一次比赛的前四名，并对前四名发给不同的奖品，A、B是六支球的两支，若A、B不都获奖，则不同的发奖方式共有 （ ）
（A）144种 （B）216种
（C）366种 （D）360种
（8）（文）同（理）第7题
（理）极坐标系中，直线
和直线
的位置关系是
（ ）
（A）垂直 （B）平行
（C）相关但不垂直愿 （D）相交
（9）（文）设实数x，y满足
，则
的最小值为
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（理）若是直二面角，直线
b与a不得合，则直线的一个充分但不必要条件是
（ ）
（A）（A），
（B）且
（C），
（D）
（10）已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为210，则此等差数列共有 （ ）
（A）8项 （B）7项
（C）6项 （D）5项
（11）已知
是方程
的两根，则动点（p，q）的轨迹图形是
（ ）
（12）商店某种贷物进价下降了8%，但销售价没有变，于是这种贷物的销售利润率
由原来的r %增加（r+10）%，，则r的值等于
（ ）
（A）12 （B）15 （C）20 （D）25
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上）
（13）若函数
，则
______________ 。
（14）抛物线
向右平移个单位得一曲线
，再把绕其项点逆时针旋转90°，则所得曲线方程为______________________
。
（15）当x =3时，不等式
（a为常数，
）成立，则此不等式的解集是_________________________ 。
（16）把底面半么为8圆锥放倒在平面内，使圆锥在此平面内绕顶点O滚动，当这圆锥在以虚线所示的圆O上绕O点滚动一周而回到原处时，圆锥本身滚动了两周半，则圆锥的母线长为___________________ 。
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应出文字说明、证明过程或演算步骤）
（17）（本小题满分12分）：
已知复数
。
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若△ABC的三个有A、B、C依次成等差数列，且
，求
的取值范围。
（18）（本小题满分12分）
三棱锥P－ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P―AC―B为120°，PC=2，
。
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求BD与底面ABC所成角的正弦值；
（Ⅲ）求三棱锥P－ABC的体积。
（19）（本小题满分12分）
某公司年初有资金500万元，由于坚持改革、大胆创新，每年资金递增20%，但该公司不忘回报社会，每年年底资助希望工程40万元，若
年后，该公司资金至少翻一番，求m的最小值。
（参考数据：
）
（20）（本小题满分12分）
设常数
，若
展开式中x的系数
，
（Ⅰ）写出数列
的通项公式；
（Ⅱ）设
；
（Ⅲ）当
时，求
的值。
（21）（本小题满分12分）
（文）若函数
，满足
。
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）是否存在实数
，使函数
在区间
上的值域
，若存在，求出这个值，若不存在，说明理由。
（理）设
是定义在自然数集N上的函数，满足
，且对任意
都有
的成立。
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）若函数
，满足，问是否存在实数使函数在区间上的值域，若存在，求出这个值，若不存在，说明理由。
（22）（本小题满发14分）
如图，
为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且
，Q为线段OD的中点，已知AB=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持PA+PB的值不变。
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）过D点的直线
与曲线C相交于不同的M、N，且M在D、N之间设
，求λ的取值范围。
（Ⅲ）（只理科做）过D的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，求△OMN面积的最大值。
参考答案
一、（1）D （2）A （3）文D，理B （4）文B，理A （5）文A，理C （6）文C，理D （7）文D，理B （8）B （9）文B，理D （10）C （11）C （12）B
二、填空题：每小４分，共16分。
（13）
（14）
（15）
（16）20
三、（17）解：（Ⅰ）
（Ⅱ）在△ABC中因为，A、B、C、依次成等差数列，
即
（18）解：（Ⅰ）取AC的中点，E，连结DE、BE，则DE∥PC。 （1分）
∵PC⊥AC ，∴DE⊥AC。 （2分）
∵△ABC是正三角形，
∴AC⊥平面DEB，而
平面DEB，
AC⊥DB。 （4分）
（Ⅱ）∵AC⊥平面DEB，AC
平面ABC，
∴平面DEB⊥底面ABC。 （5分）
∴EB是DB在底面ABC内射影。
∴DE⊥AC，BE⊥AC，
∴∠DBE是二面角P―AC―B的平面角，故∠DBE=120° （7分）
在△DEB中，
。
由余弦定理，得
由正弦定理，得
即：BD与底面ABC的所成角的正弦值为
。 （9分）
（Ⅲ）作DF⊥底面ABC于F，
∵平面DEB⊥平面ABC，∴E在BE的延长线上。
∴∠DBE=60°，由DE=1，得
。 （10分）
∵D是PA的中点，∴P到平面ABC的距离为
（11分）
。 （12分）
（19）解：公司1年后有资金
（万元） （2分）
2年后有资金
……
m年后有资金
再由题意：
。 （11分）
时
时
。
即m的最小值为6。（12分）
（20）解：（Ⅰ）
令r=1，得
。过且过 （4分）
（Ⅱ）若b=1，则
若b>1，则
作差
（Ⅲ）b>1时
（21）解：（文）（Ⅰ）
解得
又∵n为自然数， ∴n=1。 （5分）
（Ⅱ）由n=1得
若存在实数满题设，则
的最大值为
又
此时
∴
在[-1，2]上值域为
。
故满足条件的λ存在，且λ＝2。 （12分）
（理）（Ⅰ）由。
相加，得
（Ⅱ）
即
又
。 （8分）
若存在实数满足题设，则
的最大值为
令
又
此时
故满足题设的λ存在且λ＝2。 （12分）
（22）解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系。 （文1分）
（文2分）
∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆。 （文3分，理1分）
设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，
则
。
∴曲线C方程为
。 （文4分，理3分）
（Ⅱ）设真线1方程为
，代入曲线C的方程并整理，得
。
设
则
由（1）得
。（文6分理5分）
又
M在D、N之间， 故
。 （文7分，理6分）
由
。 （文9分，理7分）
而
。 （文11分，理8分）
当1与y轴重合时，
。
综上所述，
。 （文12分，理9分）
（理）（Ⅲ）
点O到直线MN的距离
。 （10分）
弦MN的长
设
则
（12分）
当且仅当
即
是等号成立，
此时
∴△OMN的面积有最大值为
(14分)