朝阳区高三统一练习（二）
数学（理工农医类）
2003．5
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题，共50分）
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长球体的体积公式
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集I={1，2，3，4，5}，
，
，则
等于
（A）{3} （B）{5}
（C）{1，2，4} （D）{3，5}
（2）若0<a<1，x>y>1，下列关系式中不成立的个数是
①
②
③
④
（A）4个 （B）3个
（C）2个 （D）1个
（3）一个半径为a的半球内切于轴截面顶角为90°的圆锥，半球的底面在圆锥的底面内，则
等于
（A）
（B）2：1
（C）
（D）1：2
（4）若双曲线
（a>0，b>0）的离心率为2，则双曲线
的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）2
（5）与函数
相同的函数是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）在北纬45°圈上有M、N两地，它们在纬度圈上的弧长是
（R是地球的半径），则M、N两地的球面距离为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）在△ABC中，若tgA=m，tgB=n，且A、B为锐角，那么C为锐角的充要条件是
（A）m>n （B）mn=1
（C）mn<1 （D）mn>1
（8）6个乒乓球运动员，每两个人都可以组成一对双打选手，从中选出两对双打选手的选法有
（A）15种 （B）90种
（C）105种 （D）110种
（9）在数列
中，
，
，则
等于
（A）81 （B）50
（C）-13 （D）-46
（10）两游泳者在50米游泳池的对边上同时开始游泳，1人以每秒2.5米、另一人以每秒
米的速度进行，他们游了4分钟。若不计转向时的时间，则他们迎面闪过的次数为
（A）7次 （B）8次
（C）9次 （D）10次
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（11）函数
的单调递减区间是_____________。
（12）圆的极坐标方程是
，该圆的圆心坐标（极坐标）是__________。
（13）圆锥的轴截面为等边三角形SAB，S为顶点，C是底面圆周上
的三等分点，
，则二面角C—SA—B的正切值为_____________。
（14）已知曲线
，与
关于点（1，1）对称的曲线为
，且、有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为45°，那么实数a的值是___________。
三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分14分）
设非零复数
、
满足
为纯虚数，
，
。求、。
（16）（本小题满分14分）
关于x的方程
的解都大于1。求实数a的取值范围。
（17）（本小题满分14分）
在三棱台
中，侧棱
，且
，
。
（I）求证：
；
（Ⅱ）求AC与
所成的角；
（Ⅲ）若
，求点
到平面
的距离。
（18）（本小题满分14分）
2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，原有绿化面积的2%被非绿化。
（I）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为
，经过n年后绿化的面积为
，试用
表示；
（Ⅱ）求数列的第n+1项；
（Ⅲ）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%。（lg2=0.3010，lg3=0.4771）
（19）（本小题满分14分）
已知：函数f(x)在（-1，1）上有定义，
，且满足x、
，有
。
（I）求f（0）；
（Ⅱ）证明f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（Ⅲ）在数列
中，
，
，设
，求
。
（20）（本小题满分14分）
已知：椭圆C：
。
（I）若点
是椭圆C内部的一点，求证：
；
（Ⅱ）若椭圆C：上存在不同的两点关于直线l：y=x+1对称，试求a、b满足的关系式。
朝阳区高三统一练习（二）
数学（理工农医类）参考答案及评分标准
2003．5
一、选择题
1 D 2 C 3 A 4 B 5 A 6C 7 D 8 C 9 B 10 B
二、填空题
11（3，+∞） 12
13 2
14 2
三、解答题
15．解：设
，……………………4分
可得
，代入，得
，…………6分
解得k=±3，
∴
…………………………8分
由
或
…………………………10分
解得
或
…………………………14分
16．解：原方程可化为（21ga+1gx）（1ga+21gx）=2，…………2分
即
。（1）
原方程的解都大于1的充要条件是方程（1）中的1gx大于0。…………6分
设y=1gx。方程（1）变为
。（2）
方程（2）仅有正根。……………………………………8分
………………10分
解得1ga<-1。……………………12分
∴当
时，原方程的解都大于1。……………………14分
17．（Ⅰ）证明：∵
，
∴
。
又∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴
。
∴
。………………2分
而
，
∴
。………………4分
，
∴。………………6分
（Ⅱ）解：∵
，
∴AC与所成的角即为
与所成的角
。………………8分
∵AC⊥AB，
，
∴
。
∴
。
∵
，
，
∴
，即AC与所成的角为60°。………………10分
（Ⅲ）解：在三棱锥中，
，
，
，
。
作
于D，则
。
∵，
∴
，
。
∴
。………………11分
∴
。
∵
，
∴
，
。
∴
。
∴
。……………………12分
而
，
∴
。
在
中，
，
。………………13分
设点B到平面的距离为h，
，
，
。
∴点B到平面的距离为
。……………………14分
18．（Ⅰ）解：设现有非绿化面积为
，经过n年后非绿化面积为
。
于是：
，
。……………………2分
依题意：是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积减去被非绿化部分
后剩余的面积
，另一部分是新绿化的面积
。于是
……………………4分
。…………………………6分
（Ⅱ）解：
，
。……………………8分
数列
是公比为
，首项
的等比数列。
∴
…………………………10分
（Ⅲ）解：
。
，
，
n（1g9-1）<-1g2，………………12分
。
至少需要7年，绿化率才能超过60%。……………………14分
19．解：（Ⅰ）对0∈（-1，1），有
，
故f（0） =0。……………………2分
（Ⅱ）又x∈（-1，1），
，………………4分
∴f（-x）=-f（x）。
故f（x）在（-1，1）内是奇函数。………………………6分
（Ⅲ）取x=y，有
。………………8分
从而
。………………10分
∴数列
是首项为
，公比q=2的等比数列。
。………………12分
。………………14分
20．（Ⅰ）证明：设
，
为椭圆C的左、右两个焦点。
∵P是椭圆C内部的一点，
∴
。……………………2分
∴
。………………4分
∴
。
∴
。……………………6分
（Ⅱ）解：设椭圆C上关于直线l对称的点A、B的坐标为
，
线段AB的中点坐标为
，则有
……………………8分
（2）-（1）得：
，
，
，
把（3）代入上式得：
，…………（5）…………10分
由（4）和（5）得：
，
。
即
。……………………12分
∵点M在椭圆C的内部，
∴
。
∴
。
a、b应满足的不等式为
。………………14分