高考理科数学复习第一阶段质量检测
数学试题（） 2008.03
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上；
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案.不能答在试卷上。
3．考试结束，将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．设U为全集,M、P是U的两个子集,且
,则
( )
A.
M B. P C. 
D.
2．
是虚数单位，则复数
等于（ ）
A．
B．
C．
D． 
3. 要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入人家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②某中学的15名艺术特长生中选出3人调查学习负担情况。宜采用的抽样方法依次为（ ）
A．①随机抽样法，②系统抽样法 B．①分层抽样法，②随机抽样法
C．①系统抽样法，②分层抽样法 D．①②都用分层抽样法
4．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为70颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积大约为（ ）.
A．6 B．12
C．18 D．20
5．如图，该程序运行后输出的结果为 （ ）
A．1 B．2
C．4 D．16
6．设
、
满足条件
，则
的最小值等于（ ）
A．4 B. 5 C.6 D.7
7．函数
的图象与函数
的图象关于（ ）
A．点
对称 B.直线
对称 C.点
对称 D.直线
对称
8. 我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为m，远地点到地心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最近的点，远地点是距离地面最远的点），则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭圆的离心率（ ）
A．不变 B. 变小 C. 变大 D.无法确定
9．设函数
的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．四棱锥
的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：
则四棱锥的表面积为( )
A. 
B.
C.
D. 
11. 给出下列四个命题,其中真命题为( )
①命题“
x∈R，使得x2＋1＞3x”的否定是“
x∈R，都有x2＋1≤3x”；
②“m=－2”是“直线(m＋2)x＋my＋1=0与直线（m－2）x＋(m＋2)y－3=0相互垂直”的必要不充分条件；
③设圆
与坐标轴有
个交点分别为
则
；
④函数
的零点个数有3个．
A. ①④ B.②④ C. ①③ D. ② ③
12．已知O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足
,
，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A．内心 B．垂心 C．外心 D．重心
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数学试题（理科） 2008.03
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4个小题；每小题4分，共16分）
13.抛物线
的焦点恰好为双曲线
的上焦点,则
.
14.设
＝
，则二项式
展开式中含
项的系数是 .
15. 在计算机的算法语言中有一种函数
叫做取整函数（也称高斯函数），它表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数．例如：
．设函数
，则函数
的值域为 _______________.
16.设等边
的边长为,
是内任意一点,且到三边
、
、
的距离分别为
、
、
,则有
为定值
;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设正四面体
的棱长为,是正四面体内任意一点,且到平面
、平面
、平面
、平面
的距离分别为
、
、
，则有
为定值 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．(本题满分12分) 在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量
=（cosA,sinA）,
=（
），若
=2.
（1）求角A的大小；
（2）若
的面积.
18. (本题满分12分) 在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某选手判断正确的概率为
，判断错误的概率为
，若判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该选手答完
题后总得分为
”．
（1）当
时，记
，求
的分布列及数学期望；
（2）当
时，求
且
的概率．
19.(本小题满分12分) 在等腰梯形
中（如图1），
，
，
， 
于点
;将
沿
折起，使平面
平面
（如图2）,点
在棱
上,平面
把几何体
分成的两部分体积比
（1）确定点M在上的位置；
（2）判断直线
是否平行于平面
,并说明理由；
（3）求二面角
的正切值．
20.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=x2－x＋alnx, 
(1)若
恒成立，求的取值范围；
(2)求
的单调区间.
21. (本小题满分12分) 已知椭圆
的中心为坐标原点
,一个长轴端点为
,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线
与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且
．
（1）求椭圆方程；
（2）求m的取值范围．
22. (本小题满分14分) 幂函数y = 的图象上的点 Pn(tn2,tn)（n = 1,2,……）与 x 轴正半轴上的点 Qn 及原点 O 构成一系列正△PnQn－1Qn（Q0与O重合），记 an = Qn－1Qn
（1）求 a1的值；
（2）求数列 {an} 的通项公式 an;
（3）设 Sn为数列 {an} 的前 n 项和，若对于任意的实数 l∈[0,1]， 3Sn－3n + 2≥(1－l) (3an－1) 恒成立，求 n 的取值范围．
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数学试题参考答案及评分标准（理）
一．选择题（每小题5分，共60分）
1．D 2．D 3．B 4．C 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．D 11．C 12．B
二．填空题（每小题4分，共16分）
13．
14．
15．
16．
三.解答题
17. 解：（1）
………………………2分
…………………………4分
又
…………………6分
另解：
…………………2分
………………………4分
……………………5分
………………………………6分
（2）由余弦定理，
………………8分
即
……………………………………10分
…………………………12分
另解：由
又
…………………………………10分
∴△ABC为等腰直角三角形。
……………………………………12分
18. 解:（1）
的取值为1，3，又
； ………………………2分
故
，
．
所以 ξ的分布列为：
|
| 1 | 3 |
|
|
|
|
……………………………4分
且
=1×
+3×
=
；………………………………………………6分
（2）当S8=2时，即答完8题后，回答正确的题数为5题，
回答错误的题数是3题， ……………………………………………8分
又已知，若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题和第三题回答正确，第二题回答错误，
则后5题可任意答对3题． ………………………………10分
此时的概率为
．…………………12分
19. （Ⅰ）∵平面平面，
∴
平面
∴平面
平面
在平面
内，由作
于点
∴
平面 ……………………………2分
∵
∴
，从而
∴为的中点．……………………………………4 分
（Ⅱ）证法一：连接
交
于，因为
，
，
，
由相似三角形易得
，
∴不是的中点，
又∵为中点
∴在平面
中，直线
与相交 …………………………6分
又
平面，
平面．
∴直线与平面不平行． ………………………………………8分
证法二：反证法，证明略．
（Ⅲ）过点作
于点
，连结
，
则
是二面角
的平面角 ……………………………10分
注意到
，
，又
在
中，
所以二面角的正切值为
……………………………………………………12分
或应用空间向量知识解决：
（Ⅱ）以为原点，直线、、
为轴、轴、
轴，
建立空间直角坐标系（如图），
则
、
、
、
、
、
则
，
设平面的法向量为
，
则
，这时取
……………………………6分
∵
而
∴
与
不垂直
∴直线与平面不平行．……………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为
又平面的法向量
则
…………………………………………………………10分
所以二面角的正切值为 ．……………………………12分
20. 解：(1)由
恒成立,得:
在
时恒成立
当
时
……………………………2分
当
时即
，令
,
……………………4分
时
,
在
时为增函数， 在
时为减函数
∴ 
∴ 
…………………………………………………6分
(2)解：f(x)=x2－x＋alnx，f′(x)=2x－1＋
=
，
.
（Ⅰ）当△=1－8a≤0，a≥
时，f′(x)≥0恒成立，
f(x)在
+∞）上为增函数．……………………………………8分
（Ⅱ）当a＜时
①当0＜a＜时， 
，
f(x)在+∞）上为增函数．……………………………9分
②当a=0时，f(x)在 [1，＋∞）上为增函数．……………………………10分
③当a＜0时，
，故f(x)在，
]上为减函数， f(x)在[，＋∞）上为增函数．……………………………-11分
综上:当
时, f(x)的增区间为[1，＋∞）,无减区间;
当a＜0时, f(x)的增区间是[，＋∞）,
减区间是，]. ……………………………12分
21. 解：（1）由题意可知椭圆为焦点在轴上的椭圆，可设
，……2分
由条件知
且
，又有
，解得 
， ………4分
故椭圆的离心率为
，其标准方程为：
………………6分
（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝， x1x2＝ ………………………………………………7分
∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0 ………………………………………9分
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1
容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1） ………………………12分
22. 解：(1) 由 P1(t12,t1)（t > 0），… 1分,得 kOP1 = = tan = Þ t1 =
∴ P1(,) ……………………………2分
a1 = Q1Q0 = OP1 = ……………………………4分
(2) 设 Pn(tn2,tn)，得直线 PnQn－1的方程为：y－tn = (x－tn2)
可得 Qn－1(tn2－,0)
直线 PnQn的方程为：y－tn = －(x－tn2)，可得 Qn(tn2 + ,0)
所以也有 Qn－1(tn－12 + ,0)，得 
= tn－12 + ，……………………………6分
由 tn > 0，得 tn－tn－1 =
∴ tn = t1 + (n－1) = n ……………………………8分
∴ Qn(n(n + 1),0),Qn－1(n(n－1),0)
∴ an = QnQn－1 = n ……………………………10分
(3) 由已知对任意实数时 l∈[0,1] 时 n 2－2n + 2≥(1－l) (2n－1) 恒成立
Û 对任意实数 l∈[0,1] 时，(2n－1)l + n 2－4n + 3≥0 恒成立……………………………11分
则令 f (l) = (2n－1)l + n 2－4n + 3，则 f (l) 是关于 l 的一次函数.
Û 对任意实数 l∈[0,1] 时
Û ……………………………13分
Û n≥3或n≤1
又 ∵ n∈N *
∴
或
且n∈N * ……………………………14分