2006年考前综合辅导专题
集合与简易逻辑
一、要点概述
本专题是掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的新起点，在函数及其它后继内容中将得到充分的运用.逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科.学习数学、日常生活和工作中都离不开逻辑知识的掌握和运用.集合与逻辑是我们认识问题、研究问题不可缺少的工具.
本专题重点：理解集合、子集、交集、并集、补集的概念；掌握解绝对值不等式及一元二次不等式的方法；充要条件的判定等内容.
本专题难点：集合之间包含关系的确定；集合术语的理解，集合与不等式问题综合时转化技巧的应用，逻辑联结词的意义领会等内容.
突破难点的关键在于要掌握集合的语言、符号以及"或""且""非"逻辑联结词的含义；要准确掌握集合、元素，子集、交集、并集、补集、命题、充要条件等概念；要强化数形结合意识，自觉利用韦恩图、数轴、函数图象帮助解题，提高数学解题中的形象思维能力.在遇到集合语言与集合思想的运用问题时，如函数定义域、值域、方程与不等式的解集、解几中曲线间的相交问题等，这些问题多是集合与其他知识点的揉合，所以要注意数学思想方法的学习，解题时要广泛应用数形结合、逻辑划分、函数方程思想、等价能力思想等，并辅之以配方法、图象法、判别式法达到灵活解题的目的.
二、命题走向
考查热点：考查集合概念的认识与理解；考查集合知识的应用，如求不等式和不等式组的解集；考查准确使用数学语言的能力；考查命题的形式及等价性；考查充要条件的判定；考查逻辑推理和分析问题的能力等.
1．集合部分试题考查的知识点主要是集合的基本概念，子集、交集、并集、补集的定义.近几年的考题偏重于集合的交、并、补运算.
集合部分试题的难易程度基本上属于中偏下水平.
值得注意的是近几年在高考试题的带动下，一大批以集合为背景的、所谓创新脱俗的"开放题"相继问世，这些题涉及的知识面广，同时灵活性极强，之所以如此，它是由集合{PP所适合的条件}的代表元素"P的任意性"和"P所适合的条件的灵活性"决定的，学习中要注意提高这方面的适应能力.实际上这方面问题的本质是以集合为载体，将一些数学问题的已知条件"嵌入"集合之中，只不过是语言形式的变通罢了，解决问题的理论依据、方法等仍类似于其它问题的求解.
2．逻辑部分的内容是课本新增加的内容，高考也仅是对基本内容的考查，一般难度不大，主要涉及以下几个方面：
（1）正确地使用逻辑联结词，"或"、"且"、"非"，会判别复合命题的真假.
（2）已知四种命题中的一种，求其它三种，并会判断真假.
（3）会一些较简单的充要条件的判别.并会用充要条件的知识解决一些与其它知识相关的问题.
3．涉及集合与简易逻辑知识的试题将会在今后的考查中继续以选择、填空题的形式出现，主要考查集合语言与集合思想的运用，充要条件的判断，四种命题间的关系及真假判断，展示以集合语言或逻辑关系为背景的应用性、开放性问题，具有构思巧妙、独特新颖、解法灵活等特点，将会是未来高考"出活题，考能力"的高考命题新趋向.
三、例题讲解
[例1]已知集合M＝{yy=x2+1,x∈R},N={yy=x+1,x∈R},则M∩N＝（ ）
A.(0,1)，(1,2) B.{(0,1),(1,2)} C.{yy=1,或y=2} D.{yy≥1}
[分析]集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对（x,y），因此M、N分别表示函数y＝x2+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集.
[解答]M={yy=x2+1,x∈R}={yy≥1},N={yy=x+1,x
R}={yy∈R}.
∴M∩N={yy≥1}∩{y(y∈R)}={yy≥1},∴应选D.
[点评]①本题求M∩N，经常发生解方程组
得
或
从而选B的错误。这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集.
②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{xy=x2+1}、{yy=x2+1,x∈R}、{(x,y)y=x2+1,x∈R},这三个集合是不同的.
[例2]已知集合A＝{a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2}.若A＝B，求c的值.
[分析]要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式.
[解答]分两种情况进行讨论.
（1）若a+b=ac且a+2b=ac2,消去b得：a+ac2－2ac=0,
若a=0，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0.
∴c2－2c+1=0,即c=1,但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解；
（2）若a+b=ac2且a+2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0,∵a≠0，∴2c2－c－1=0,
即(c－1)(2c+1)=0,又c≠1，故c = - 1/2 。
[点评]解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正.
[例3]设a,b∈R，A＝{(x,y)x=n,y=na+b,n∈Z},B={(x,y)x=m,y=3(m2+5),m∈Z},C={(x,y)x2+y2≤144}是平面xoy内的点集，问是否存在实数a和b使得(1)A∩b≠φ，(2)(a,b)∈C同时成立？
[分析]解决此题的关键是集合语言向非集合数学语言转化，将隐晦的数学含义显露出来.
[解答]A∩B≠φ，即
成立.
即na+b=3n2+15 ①
又(a,b)∈C ，即a2+b2≤144
②
若满足①和②的a,b存在，则关于a,b的方程组
有解.
从而在直角坐标系ao′b中，直线 ：na+b－3(n2+5)=0与a2+b2≤144表示的区域应有公共点.
于是圆心O′(0,0)到直线 的距离不大于半径12，即：
≤12
(n2－3)2≤0.
即n2=3而n∈Z，这是不可能的，故满足①，②的a，b不存在.
[点评]（1）进行各种语言形态间的互译，不仅有利于对数学知识的理解和运用，还可以有利于利用数学知识解答问题.
[例4]判断下列复合命题的真假
（1）等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
（2）方程x2+3x+2=0的根是x=±1；
（3）A
(A∪B)。
[分析]先确定复合命题的构成形式以及构成它的简单命题，然后研究各简单命题的真假，最后再根据相应的真值表判定复合命题的真假.
[解答]（1）这个命题是"p且q"的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，
q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，
因p真q真，则"p且q"真，所以该命题是真命题；
（2）这个命题是"p或q"的形式，其中p：方程x2+3x+2=0的根是1，
q：方程x2+3x+2=0的根是－1，
因p假q真，则p或q"真"，所以该命题是真命题；
（3）这个命题是"非p"的形式，其中p：A
（A∪B），
因p真，则"非p"假，所以该命题是假命题.
[点评]一个复合命题，从字面上看不一定是"或"，"且"、"非"字样，这样需要我们掌握一些词语，符号或式子与逻辑联结词"或"、"且"、"非"的关系，如"或者"、"x=±1"、"≤"的含义为"或"；"并且"、"
"的含义为"且"；"不是"，""的含义为"非".
[例5]（1）探求使函数
的反函数恰好是它本身的充要条件.
（2）证明：在（1）中，若a=1，则函数y的反函数不是它自身.
[分析]（1）先寻找必要条件，再证明所寻找的必要条件同时是充分条件.
（2）正难则反.用反证法证明数学问题，首先要反设，即假设结论反面成立，反设为
的反函数是它自身.
[解答]1、①先探求必要条件：
若函数的反函数恰好是它本身，则
恒成立，
即
恒成立，
∴
∴a=－1.
②再证明充分性：
若a=－1，则
，其反函数为，是它本身.
综上，知函数的反函数是它本身的充要条件是a=－1.
2、若a=1，则，
假设的反函数是它自身，则这一函数图象必关于直线y=x对称，由点(－1,0)在原函数图象上，
∴（0，－1）也在原函数图象上，但x=0时， 
＝1与y=－1矛盾.∴假设不正确，
故此时函数的反函数不是它自身.
[点评]1、探求充要条件时一般可先探求必要条件，再看所得的必要条件是否充分.若探求过程中每一步都是等价转化，则最后所得条件即为所求的充要条件.
2、使用反证法证题时，注意利用反证假设去导出矛盾.
[例6]解不等式x2－3>2x.
[分析]考查含绝对值不等式的解法.
[解答]解法1：（定义法）当x2－3≥0，即x≥
或x≤－时，x2－3>2x，即x2－2x－3>0,
则x>3或x<－1，∴x>3或x≤－；
当x2－3<0，即－<x<时，－x2＋3＞2x，即x2＋2x－3<0,
则－3＜x<1,因此，－＜x＜1.
综上，原不等式的解集为xx>3或x<1.
解法2：（图象法）令y1=x2－3,y2=2x,分别在如图所示坐标系中画出y1=x2－3
和y2=2x的图象，如右图，解方程x2－3＝2x可得x1＝1，x2=3(∵x≥0)
故满足y1>y2的不等式即原不等式的解集为{xx>3或x<1}.
解法3：（利用等价转化）原不等式可化为x2－3>2x或x2－3<－2x.
∴x>3或x<－1或－3<x<1.∴原不等式的解集为{xx>3或x<1}.
[点评]比较上述各种解法，解法1分类讨论，不重漏，全面周到；解法2形象、直观；解法3较为简捷、直接.
[例7]设函数
的定义域为集合A，关于x的不等式lg2ax<1g(a+x),(a∈R+)的解集为B，求使A∩B＝A的实数a的取值范围.
[分析]利用函数的思想求解.
[解答]∵A∩B＝A，∴AB，即属于A的元素一定属于B，也就是集合A的每一个x值恒使不等式
lg2ax<lg(x+a)(a∈R+)成立，而A＝{x1<x≤2}，
当1＜x≤时，对不等式进行参数分离得：2ax＜a+x,即（2x－1）a<x.
由1＜x≤2，知2x－1＞0，即有
.
要使a<
恒成立，只须a<fmin(x) ,
而,在1＜x≤2的情况下为减函数，
∴
.
故正数a的取值范围为
.
[点评]高中数学集合中有一类问题：给出两个集合，其中一个集合含有参数，且已知两个集合具有包含关系，求参数的取值范围，常规解法是尽可能地解出两个集合，对比子集关系，得出相应的不等式或不等式组，从而得解.而本例我们利用函数化的解答方法.显然这种方法简洁明快.
[例8]命题甲：方程x2+mx+1=0有两个相异负根；命题乙：方程4x2+4(m－2)x+1=0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求m的取值范围.
[分析]使命题甲成立的m的集合为A，使命题乙成立的m的集合为B，有且只有一个命题成立是求A∩CRB与CRA∩B的并集.
[解答]使命题甲成立的条件是：
m>2.
∴集合A＝{mm>2}.
使命题乙成立的条件是：△2＝16(m－2)2－16<0，∴1＜m＜3.∴集合B＝{m1<m<3}.
若命题甲、乙有且只有一个成立，则有：
（1）m A∩CRB，（2）m CRA∩B.
若为（1），则有：A∩CRB＝{mm>2}∩{mm≤1或m≥3}={mm≥3}；
若为（2），则有：B∩CRA＝{m1<m<3}∩{mm≤2}={m1<m≤2}，
综合（1）、（2）可知所求m的取值范围是{m1<m≤2,或m≥3}.
[点评]（1）本题体现了集合语言、集合思想的重要作用；
（2）用集合语言来表示m的范围既准确又简明；
（3）今后注意结合问题具体情况，运用交集思想、并集思想、补集思想.
[例9]设
，B={(x，y)(x-1)2+(y-)2=a2，a>0}，且A∩B≠φ，试求a的最大值与最小值.
[分析]如图，已知的A、B两个集合都是以平面上的点为元素的集合，可以利用点集的几何意义解题。
[解答]A、B两点集分别表示以O（0,0）和O′（1,）为圆心，以
和a为半径的半圆与圆.因A∩B≠φ，
所以半圆O与圆O′应有公共点.
由图可知，当半圆O与O′外切时（实线），a最小；
当半圆O与圆 O′内切时（虚线），a最大.
∴
. 
.
解之得
.
[点评]平面点集的交集问题是中学数学中的一类重要题型，处理这类问题的常用方法是解方程组法.若能充分注意到平面点集的几何性质，利用数形结合思想，并借助解析几何知识，则往往可以形成较为简洁的解法.
[例10]集合A＝{xx2－ax+a2－19=0},B={xx2－5x+6=0}，C＝{xx2+2x－8=0}.a取何实数时，φ
（A∩B）与A∩C＝φ同时成立？
[分析]由集合形式给出条件，要求求出题设中的参数值是常见题型之一.本题的解题切入点是用好两个集合的关系条件，用对应算式表示出φ（A∩B）与A∩C＝φ同时成立的数学含义。
[解答]B＝{xx2－5x+6=0}={2,3},C={xx2+2x－8=0}={2,－4}.
由φ（A∩B）与A∩C＝φ同时成立可知3是A的元素，
故3是方程x2－ax+a2－19=0的解，将3代入方程得a2－3a－10=0,解得a=5或a=－2.
当a=5时，A＝{xx2－5x+6=0}={2,3},此时A∩C＝{2},与题设A∩C＝φ矛盾，故应舍去；
当a=－2时，A＝{xx2+2x－15=0}={3,－5}，此时满足φ
(A∩B)与A∩C＝φ，故a=－2即为所求.
[点评]由于这类集合问题中含有参数，从而使题目的难度增大，使其成为同学们学习中的一个薄弱环节.要顺利解答此类问题题，一方面需要把集合知识与其他代数知识有机结合起来求解参数，另一方面需做好参数值的检验工作.由于受多种因素的制约与影响（主要是变形过程不能自始至终保持等价变形所至），求出的参数值并不是都能满足已知条件的，所以进行检验是非常必要的.在通常情况下，不满足条件的参数值主要有两种：（1）所求参数值使已知的某集合中出现相同的元素，与集合中元素的互异性相矛盾；（2）由求出的参数值推出了与已知条件相矛盾的结论.所以在检验时，可着重从这两方面入手，舍去不满足条件的参数值.
四、方法归纳
集合概念及其理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要基础.集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用，而逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科，本章又是高中数学的起始章，在学习中应注意以下各点：
1．要搞清楚集合的元素是什么？是函数关系中自变量的取值范围，还是因变量的取值范围，还是曲线上的点. 正确掌握集合的确定性、互异性和无序性，特别是互异性的应用；
2．搞清"
"（元素与集合关系）与"
"（集合与集合关系）的应用区别，注意元素与集合是相对的.记忆集合运算中的相应结论：
①若A∩B＝A，则AB.
②若A∪B＝A，则BA.
③含有n个元素的集合有2n个子集，2n－1个真子集.
④集合运算的两个恒等式：（CUA）∩(CUB)=CU(A∪B),(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)
3．注意空集与全集在解题中的作用，讨论问题时重点防止遗漏.
4．利用集合求参数时，分析问题要严谨全面.
5．认真理解，反复推敲本章各知识点的涵义，注意对于容易混淆的知识仔细辨识区分，达到熟练掌握，逐步建立和集合与逻辑知识结构相适应的理论体系与思考方法.
6．解不等式问题的关键是等价转化，对于含绝对值不等式的转化目标是去掉绝对值符号，其具体方法有多种，常用的有定义法、平方法及零点分段法.对于一元二次不等式的转化目标是化为相应的一元一次不等式或直接利用解集公式。对于分式不等式的转化目标则是设法得到一个高次不等式，利用标根连线法.
7．重视数形结合（数轴，坐标系，文氏图）和等价转化思想的应用，通过学习，要努力培养自己观察、比较、抽象、概括能力.
8．当一个命题的真假不易判断时，往往可以判断其逆否命题的真假，从而判断出原命题的真、假.因此要提高构造命题的能力。
9．正确掌握反证法的证题步骤。反证法常用来证明含一些特殊词语如"非"，"至多"，"至少"等命题.它的一般步骤是：一否定命题（即反设）；二推出矛盾；三得出结论.其关键是第二步.
10．处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，或用集合显示其关系，或用命题帮助推理和判断. 设条件集合为A，结论集合为B，若AB，则条件是结论成立的充分条件；若A
B，则条件是结论成立的必要条件；若A＝B，则条件是结论成立的充要条件. 当充要条件的判断以选择题的形式出现时，可以用特殊值方法进行筛选判定.