2006高考模拟《导数的应用》选编A
1.( 06年德阳中学)
已知f（x）=
在x=1，x=
时，都取得极值。
（1） 求a、b的值。
（2）
若对
，都有
恒成立，求的取值范围。
解：（1）由题意f/（x）=
的两个根分别为1和
由韦达定理，得：1=
，
则
，
（2）由（1），有f（x）=
，f/（x）=
当
时，
，当
时，
，当
时，，
当
时，
有极大值
，
，
∴ 当，的最大值为
对，都有恒成立，∴
，
解得
或
2 (06年云南省第一次高中毕业复习统一检测)
已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x＝0处取得极值，曲线y＝f(x)过原点O（0, 0）和点P(－1, 2)，若曲线y=f(x)在P处的切线l与直线y＝2x的夹角为45°，且l的倾角为钝角。
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若y=f(x)在区间 [2m－1, m+1] 上是增函数，求m的取值范围.
3．（06厦门双十中学高三数学质量检查试卷）
已知三次函数的导函数为
（1）求
的表达式；
（2）若对任意的
成立，求
的取值范围.
|
…………1分
…………4分 ∴
∴
…………6分
|
对任意的
…………8分
∵
；
当x=1时或3时，
；
当
∴
上的最大值为
的取值范围是（19，+∞）.……12分
4．（杭州西湖高级中学）已知函数f(x)=(x2+
)(x+a)(a
R)
(1)若函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，求a的范围；
(2)若
(-1)=0,(I)求函数f(x)的单调区间；
（II）证明对任意的x1、x2(-1,0),不等式f(x1)-f(x2)<
恒成立。
解：
，
⑴
函数的图象有与
轴平行的切线，
有实数解
，
，
所以
的取值范围是
⑵
，
，
，
（Ⅰ）由
或
；由
的单调递增区间是
；单调减区间为
（Ⅱ）易知的最大值为
，的极小值为
，又
在
上的最大值
，最小值
对任意
，恒有
5．（本小题满分14分）函数
,
当
,总有
.
(1)求函数的解析式;
(2)设
,
求证：当
时, 
成立的充要条件是：
6．已知函数
的切线方程为y=3x+1，且函数
处有极值.
（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）求函数
在[－3，1]上的最大值.
解：（1）由
过
的切线方程为：
…………2分
而过
|
…………4分
∵
③ ……5分
由①②③得 a=2，b=－4，c=5.
∴
………………7分
（2）
当
…………12分
又
在[－3，1]上最大值是13. …………14分
 |
7．（临沭县实验中学2）
已知函数
（1）求证：函数
在（0，
）上是增函数；
（2）若
在［1，）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数在
上的值域是
，求实数a的取值范围。
解：（1）
在（0，）上为增函数 2分
（2）
在（1，）上恒成立
设
则
在（1，）上恒成立
在［1，）上单调递增
5分
故
即
的取值范围为（
，3） 7分
（3）由题意知
时，由（1）知
在（0，）上单调递增
，
有两个不相等的正根
即
有两个不相等的正根m，n 10分
12分
8．（临沭县实验中学1）
已知函数
.
⑴若函数
在
上单调递减，在
上单调递增，求实数的值；
⑵求证：当
时，在
上单调递减.
解：⑴
……………………………………1分
∵在上单调递减，在上单调递增，
……………………………………4分
⑵要使在上单调递减，则对
总有
………6分
∵，∴当时，即
，
在
上的最大值为
或
…………………………8分
∵当时，=10-4≤10
，
………………………11分
∴对总有
∴当时，在上单调递减 ………………………12分
9．（潜山中学）已知函数
（I）求函数f(x)的单调区间； （II）设
，求函数f(x)在[1，2]上的最小值.
解：（I）
当
是R上的增函数. ………………2分
在区间
所以此区间是的单调递减区间；……4分
当
是的单调递增区间；
在区间
所以此区间是的单调递减区间；…………6分
（II）因为
.
①当
上函数为增函数，的最小值为f（1），
………………8分
②当
，根据的单调性，的最小值为f（1），
f（2）中的值小的一个，
因为
所以最小值为
；
………………10分
③当
，根据的单调性，的最小值为f（1），f（a）中的值小的一个，
因为
，
所以最小值为
；
综上，当
的最小值为
的最小值为
.
10．（山东省实验中学2006）
已知函数
在
和
处取得极值，
（1）确定函数的解析式；
（2）求函数的单调区间。
解：（1）
2分
又
在和处取得极值
4分
6分
（2）由
若
则
或
8分
若
则
9分
∴函数的单调减区间为［-2，
］ 10分
函数的单调增区间为
和
12分
11．（本小题满分12分）
若函数
的单调递减区间是[-1，2].
（1）求
；
（2）求
上的最大值.
① 因为
…………2分
根据题意
的解集为
…………3分
所以，
是方程
的根，
由根与系数的关系，得
…………5分
②
…………6分
…………7分
由
…………8分
所以在上的最大值，是
中的最大者 ……10分
…………11分
所以在上的最大值为17 …………12分
②另解： …………6分
…………7分
由 …………8分
，
的取值情况为：
|
|
|
|
|
| 2 |
| 4 |
|
| * | + | 0 | — | 0 | + | * |
|
|
| 增 |
| 减 |
| 增 |
|
所以在上的最大值为17 …………12分
2006-3-17整理