高考模拟测试题

高考模拟测试题

一、选择题（本题满分60分，每小题5分）

1．　  函数的反函数图象是（　 ）





　　 A．　　　　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　 D．

2．　  将四面体（棱长为3）的各棱长三等分，经过分点将原正四面体各顶点附近均截去一个棱长为1的小正四面体，则剩下的多面体的棱数E为（　 ）
A．16　　　　　　　　　　　B．17　　　　　　　　　　　 C．18　　　　　　　　　　　 D．19

3．　  复数等于（　 ）
A．―i　　　　　　　　　　 B．i 　　　　　　　　　　　　C．1―i 　　　　　　　　　D．―1―i

4．　  已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则此双曲线方程是（　 ）
A．　　 B．　　　C．　　　D．

5．　  已知=，=，则∠AOB的平分线上的单位向量为（　 ）
A．　　　　B．　　 C．　　　　　　 D．

6．　  已知直线、m，平面、β，且给出下列命题
①若∥β，则　②若，则∥β ③若⊥β，则//m　 ④若∥m，则⊥β，其中正确命题的个数是（　 ）
A．1个　　　　　　　　　 B．2个　　　　　　　　　　 C．3个　　　　　　　　　　D．4个

7．　  若(1+2x)¹⁰=a₀+a₁(x―1)+a₂(x―1)²+……+a₁₀(x―1)¹⁰，则a₁+a₂+a₃+……+a₁₀= (　 )
A．5¹⁰―3¹⁰ B．5¹⁰ 　　　　　　　　　　 C．3¹⁰D．3¹⁰―1

8．　  设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若，则的值等于（　 ）
A．1　　　　　　　　　　　　B．0　　　　　　　　　　　　 C． 　　　　　　　　 D．―

9．　  设随机变量ξ服从正态分布N（0, 1），记Φ(x)=P(ξ< x)，则下列结论不正确的是(　)
A．Φ(0) =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．Φ(x)=1―Φ(―x)
C．P(ξ< a) = 2Φ(a) ―1　　　　　　　　　　　 D．P(ξ> a) = 1―Φ(a)

10．已知正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁的棱长为1，则直线DA₁与AC的距离为（　 ）
A． 　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　　　D．

11．已知，则的值为（　 ）
A．　　　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　　　 C． 　　　　　　　　　　D．

12．如右图，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，l是公路，图中所标线段为道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形。已知A、B、C、D四个采煤点每天的采煤量之比约为5：1：2：3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比。现要从P、Q、R、S中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采
煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（　 ）
A．P点　　B．R点　　 C．Q点　　　　　 D．S点

二、填空题（本题满分16分，每小题4分）

13．不等式的解集是____________。

14．在条件下，z = 3+2x―y的最小值是_________。

15．已知a₁，a₂，a₃，……，a_k是有限项等差数列，且a₄+a₇+a₁₀=17，a₄+a₅+a₆，+……+a₁₄=77。若a_k=13，则k=_________。

16．甲、乙二人各有一个装有3张卡片的盒子，从中取卡片来比胜负，甲的盒子中卡片的号码是2张1，1张3；乙的盒子中卡片的号码是1张1，2张2，甲乙两人同时从自己的盒子中取出1张比较，取出的不再放回，直到二人取的卡片号码不相同时，号码大的一方为胜，则甲获胜的概率是________。

三、解答题（共74分）

17．（12分）一学生在上学途中要经过6个路口，假设他在各个路口遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是。
（1）求他通过第3个路口时，首次遇到红灯的概率；
（2）（理）求他在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。
　　（文）求这名学生在途中恰好遇到3次红灯的概率。

18．（12分）设向量=（1+cosα，sinα），=（1+cosβ，sinβ），=（1，0），
α∈（0，），β∈（，2），与的夹角为θ₁，与的夹角为θ₂，且θ₁―θ₂=，求的值。

19．设f(x) = alnx + bx² + x在x₁=1与x₂=2时取得极值，
（1）试确定a、b的值；
（2）求f(x)的单调增区间和减区间；
（3）判断f(x)在x₁、x₂处是取极大值还是极小值。

20．（12分）如图，在长方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AB=5，AD=8，AA₁= 4，M为B₁C₁上一点，且B₁M=2，点N在线段A₁D上，A₁D⊥AN，求：
（1）cos ()；
（2）直线AD与平面ANM所成的角的大小；
（3）平面ANM与平面ABCD所成角（锐角）的大小。

21．（12分）已知点H（0，―3），点P在x轴上，点Q在y轴正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，。
（1）当点P在x轴上移动时，求动点M的轨迹曲线C的方程；
（2）过定点A（a，b）的直线与曲线C相交于两点S、R，求证：抛物线S、R两点处的切线的交点B恒在一条直线上。

22．（14分）y = f(x)的定义域为R，对任意实数m、n有f(m+n) = f(m)f(n)，且当x<0时，f(x)>1，数列{a_n}满足a₁=f(0)且*)。
（1）求证：y = f(x)在R上单调递减；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）是否存在正数k，使··…·，对一切n∈N*均成立，若存在，试求出k的最大值并证明，若不存在，说明理由。

参考答案

一、选择题

题　号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
答　案	D	C	A	D	D	B	A	B	C	D	A	C

二、填空题

13． {xx≤―2或x=1} 　 14． 7 　　　15．　18  　　 16．

三、解答题（共74分）

17．（1）∵这名学生在第一、二个路口没遇到红灯，第三个路口遇到红灯。
　　　 ∴概率P=（1―）（1―）×=

　 （2）（理）　　∴　
　　　 （文）

18．∵α∈（0，），β∈（，2），　∴，

又，

　 ∴

又

且，

∴　 ∴

∴

19．解（1）令则2bx²+x+a=0

　　　 由题意知：x=1，2是上方程两根，由韦达定理：
　　　 　　　　　∴
　　　（2）由（1）知：
　　　 令　 解得：x<0或1<x<2
　　　 ∴f(x)的单调增区间为（1，2）　 减区间是（0，1）和（2，+）
　　　（3）由（2）知：f(x)在x₁=1处取极小值，在x₂=2处取极大值。
20．（1）以A为原点，AB、AD、AA₁所在直线为x轴，y轴，z轴。

则D（0，8，0），A₁（0，0，4），M（5，2，4）

∴　

∵　 ∴

　 （2）由（1）知A₁D⊥AM，又由已知A₁D⊥AN，
∴A₁D⊥平面AMN，垂足为N。

　　　　因此AD与平面所成的角即是∠DAN。

　　　　易知∠DAN = AA₁D = arctan2

　 （3）∵AA₁⊥平面ABCD，A₁N⊥平面AMN，

　　　　∴和分别成为平面ABCD和平面AMN的法向量。
　　　  设平面AMN与平面ABCD所成的角（锐角）为，则　　　　

=（，）=∠AA₁N = AA₁D = arccos

21．（1）解：设P（a,0），Q（0，b）
则：　∴

设M（x,y）∵　

∴　

∴
（2）解法一：设A(a,b)，，（x₁≠x₂）

则：直线SR的方程为：，即4y = (x₁+x₂)x－x₁x₂

∵A点在SR上，∴4b=(x₁+x₂)a－x₁x₂　①

对求导得：y′=x

∴抛物线上S、R处的切线方程为：

即4　　②

即4　③

联立②③，并解之得 ，代入①得：ax－2y－2b=0

故：B点在直线ax－2y－2b=0上

解法二：设A(a,b)

当过点A的直线斜率不存在时l与抛物线有且仅有一个公共点，与题意不符，可设直线SR的方程为y－b=k(x－a)

与联立消去y得：x²－4kx+4ak－4b=0

设，（x₁≠x₂）

则由韦达定理：

又过S、R点的切线方程分别为：，　

联立，并解之得 （k为参数）

消去k，得：ax－2y－2b=0

故：B点在直线2ax－y－b=0上

22．解（1）令m=－1，n=0则：f(–1)=f(–1)f(0)，而f(­–1)>1 ∴f(0)=1

　　　 令m=x>0，n=­ –x<0则f(x–x)=f(x)·f(–x)=1

　　　 ∴f(x)=(0,1)，即x>0时0<f(x)<1

　　　 设x₁<x₂则x₂–x₁=0　　∴0<f (x₂–x₁)·f (x₁)–f (x₁)=f (x₁)[f (x₂–x₁)–1]<0　∴f(x)<f(x₁)

　　　 即y = f (x)在R上单调递减

　（2）由f(a_n+1)=，nN*　得：f(a_n+1)·f(–2–a_n) =1

　　　 ∴f(a_n+1–a_n–2) = f (0) 由（1）知：a_n+1–a_n–2=0

　　　 即a_n+1–a_n=2（nN*）　∴{a_n}是首项为a₁=1，公差为2的等差数列

　　　 ∴a_n=2n–1

　（3）假设存在正数k，使（1+对nN*恒成立

　　　 记F(n)=

　　　 即　 ∴F（n）是递增数列，F（1）为最小值。

　　　 由F（n）恒成立知k　　∴k_max = .