湖北省黄冈中学4月份模拟考试
数学试题（文）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，用时120分钟.
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如果事件A、B互斥，那么
P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么
P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量
的模为
，则实数a的值是 （ ）
A．－1 B．2 C．－1或2 D．1或－2
2．在等比数列{
}中，
（ ）
A．16 B．27 C．36 D．81
3．使得点
到点B（
）的距离为1的
的一个值是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知偶函数
上单调递减，则
的大小关系是 （ ）
A．
B．
C．
D．无法确定的
5．将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这一正四面体某顶点到其相对面的距离是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
关于直线l对称，则直线l的方程是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知双曲线
的一条渐近线与直线
垂直，则这一双曲线的离心率是 （ ）
A．
B．
C．
D．
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接点脱落，则电路不通. 则可能出现的使A、B之间的电路不通的
焊接点脱落的不同的情况有 （ ）
A．4种 B．10种
C．12种 D．13种
9．设
（ ）
A．256 B．136 C．120 D．16
10．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点. 今有一个水平放置的椭圆形台球球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2c. 当静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线l击出，经椭圆壁反弹后再回到点A，若l与椭圆长轴的夹角为锐角，则小球经过的路程是
（ ）
A．4b B．
C．
D．
11．已知不等式
成立，则实数x的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知一个半径为
的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体积是 （ ）
A．
B．48 C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把各题的结果直接填在各题中的横线上.
13．有一个简单的随机样本：6，10，12，9，14，15，则样本平均数
.
14．设棱锥的底面面积是8，那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行于底面的截面）的面积是 .
15．函数
的图象中相邻两条对称轴的距离是
.
16．已知抛物线
的焦点在直线
上，现将抛物线沿向量a进行平移，且使得抛物线的焦点沿直线移到点
处，则在平移中抛物线的顶点移动的距离d=
.
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知非钝角
，边AB的长减去BC的长等于AC边上的高，若
分别是方程
的两个根，求实数m和角A、C的值.
18．（本小题满分12分）已知函数
在
轴上的截距为1，且在曲线上一点P
处的切线斜率为
，求这一切线方程，并求该函数的极大值和极小值.
19．（本小题满分12分）已知函数
.
（1）判断函数
的单调性；
（2）若命题
为真命题，求实数x的取值范围.
20．（本小题满分12分）如图所示，已知四边形ABCD、EADM和MDCF都是边长为a的正方形，点P、Q分别是ED和AC的中点，求：
（1）异面直线PM与FQ所成的角；
（2）四面体P—EFB的体积；
（3）（附加题，满分5分，全卷总分不超过150分）异面直线PM与FQ的距离.
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21．（本小题满分12分）已知等差数列{}前四项的和为60，第二项与第四项的和为34，等比数列{
}的前四项的和为120，第二项与第四项的和为90.
（1）求数列{}、{}的通项公式；
（2）对一切正整数n，是否存在正整数p，使得
？无论存在与否，都请给出证明.
22．（本小题满分14分）有如下命题：已知椭圆
是椭圆的长轴，
是椭圆上异于A、A′的任意一点，过P点斜率为
的直线l，若直线l上的两点M、
M′在x轴上的射影分别为A、A′，则（1）AMA′M′为定值4；（2）由A、A′、
M′、M四点构成的四边形面积的最小值为12.
请分析上述命题，并根据上述问题对于椭圆
构造出一个具有一
般性结论的命题. 写出这一命题，并判断这一命题的真假.
湖北省黄冈中学2004年4月份模拟考试
数学试题（文）参考答案
1．C（解
）
2．B（即
）
3．C（AB=
）
4．A（必有b=0，且
）
5．A（即求棱长为1的正四面体的高，
）
6．B（直线与AB垂直，且过AB的中点，故得
）
7．A（渐近线方程是
、
8．D（1号接点脱落，有23种情况；1号接点正常，2号脱落有22种情况；1号、2号接点正常，3、4号接点都脱落有1种情况）
9．A（在展开式中令
）
10．D（由椭圆的第一定义得4a）
11．D（必有
）
12．A（
）
13．11 
14．2 （设中截面面积是S，则
15．
（
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平移后抛物线的焦点为F（－4，－6），又（
在
，由此可以求得平移公式为
代入原方程得平移后的抛物线方程是
，其顶点坐标为（－6，－6））
17．设△ABC的AC边上的高为h，由∠B=60°，且三角形是非钝角三
角形，
，依题意得AB－BC=h，
是方程
=0的两个根，
，
即
此时方程为
，它的两个根是
即有
18．依题意，
由已知
∴所求的切线方程是
∴函数
有极大值 
极小值
19．（1）
是增函数；
（2）
，
这显然成立，此时
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综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是{
20．（1）将已知图形以AD、DC、DM为相邻的三条棱补成如图
所示的正方体，易知BF//MP，连结BQ，则∠QFB即为异
面直线PM与FQ所成的角，由正方体的性质知△BFQ是直
角三角形，由
为30°；
（2）由于DP=PE，所以四面体P—EBF的体积等于四面体D—EBF的一半，所以所求的体积V=
（3）由（1）异面直线PM与FQ的距离即为MP到平面BFQ的距离，也即M点到平面BFD的距离，设这一距离为d，
而
=
21．（1）设等差数列的首项为
，公差为d，等比数列的首项为
，公比为q，依题意有
（2）由（1）
，且上式小括号中的数为8的倍数，故对于一切正整数n，使得的正整数p总存在.
22．这一命题是：已知
是椭圆的长轴，是椭圆上异于A、A′的任意一点，过P点作斜率为
的直线l，若直线l上的两点M、M′在x轴上的射影分别为A、A′则（1）AMA′M′为定值
；（2）由A、A′、M′、M四点构成的四边形面积的最小值为
，这一命题是真命题，证明如下：
（1）不防设
、
由点斜式得直线l的方程是
即
，由射影的概念知M与A、M′与A′有相同有横坐标，由此可得
；
（2）由图形分析知，不论四点的位置如何，四边形的面积
，
、
都为正数， 
，即四边形的面积的最小值为2ab.