湖南师大附中高三第六次月考试卷
数 学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），试题满分150分.考试时量120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的选项中只有一项是
符合题目要求的）
1．给出下列函数：①
，②
，③
，
④
，其中是偶函数的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若α、β终边关于y轴对称，则下列等式成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
|
B）是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
的单调递增区间是 （ ）
A．（－3，3） B．
C．（－3，+∞） D．（－3，0），（0，3）
5．设等比数列
的前n项和为Sn，若
，则
（ ）
A．1:2 B．2:3 C．3:4 D．1:3
6．若
，则
的值是 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
7．在平面
内的两条直线
、
都平行于平面
是平面
的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．不充分也不必要条件
8．把
=3x的反函数
图象向右平移2个单位就得到曲线C，函数
的图象与曲
线C关于
成轴对称，那么等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知点A为双曲线
的顶点，点B和点C在双曲线的同一分支上，且A与B在y轴的异侧，则正△ABC的面积是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．设坐标原点为O，抛物线
与过其焦点的直线交于两点A、B，则
等于
（ ）
A．
B．
C．－3 D．3
11．记函数
在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为m，那么M+m的
值为 （ ）
A．0 B．3 C．6 D．8
12．13年前有一笔扶贫助学资金，每年的存款利息（年利率11.34%，不扣税）可以资助100
人上学，平均每人每月94.50元。现在（存款年利率1.98%，并且扣20%税）用同样一
笔资金每年的存款利息最多可以资助（ ）人上学（平均每人每月100元）.
A．10 B．13 C．15 D．20
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分，请把各题答案填在题中横线上）
13．若
则
的值是
.
14．一个单位有职工360人，其中业务人员276人，管理人员36人，后勤人员48人.为了了解职工的住房情况，要从中抽取一个容量为30的样本，则应该采用 的抽样方法，且应从后勤人员中抽取 人.
15．某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派1人，
则这9个名额的分配方案共有 种.（用数字作答）
16．一直角梯形ABCD，AB⊥AD，AD⊥DC，AB=2，BC=
，CD=1，E为AD中点，沿
CE、BE把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使点A、D重合，则这三棱锥的
体积等于 .
三、解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽
样统计，得到某城市一个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问：
（1）3个投保人都能活到75岁的概率；
（2）3个投保人中只有1人能活到75岁的概率；
（3）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率.（结果精确到0.01）
18．（本小题满分12分）设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a3=6, S9=36,
（1）写出数列{an}的通项公式；
（2）若bn=
证明数列{bn}是等比数列，并求数列{bn}的各项和.
19．（本小题满分12分）已知三棱锥P—ABC中PB⊥底面ABC，
，
PB=BC=CA=a，E是PC的中点，点F在PA上，且3PF=FA.
（1）求证：平面PAC⊥PBC；
（2）求平面BEF与底面ABC所成角（用一个反三角函数值表示）.
|
20．（本小题满分12分）已知向量
.
①若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.
.
21．（本小题满分12分）设函数
（a、b、c、d∈R）图象关于
原点对称，且x=1时，取极小值
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当
时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明
你的结论；
（3）若
时，求证：
.
22．（本小题满分14分）已知
（1）求点
的轨迹C的方程；
（2）若直线
与曲线C交于P、Q两点，求PQ的长；
（3）若直线
与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的同一侧，求实数k的取值范围.
湖南师大附中高三第六次月考试卷
数学参考答案（文科）
一、选择题答案：
1.B 2.A 3.B 4.B 5.C 6.B 7.B 8.A 9.C 10.B 11.C 12.B
二、填空题答案：
13．
14．分层抽取；4 15．56 16．
三、解答题
17．（1）
（2）
（3）
18．（1）已知等差数列
∴数列{an}的通项公式
证明：（2）由（1）
又
，
∴数列{bn}是首项为27，公比为
的等比数列……10分
∵数列{bn}的公比0<<1，
∴数列{bn}的各项和
19．（1）证明：∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC…………1分，又∠BCA=90°
∴AC⊥平面PBC…………4分
又AC
平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC…………5分
（2）解：设FE的延长线与AC的延长线交于M，连MB，
则MB为平面BEF与平面ABC的交线…………6分
在平面PCA中，由已知E是PC的中点，F是PA的四等分点，
…………7分
取BC的中点H，则EH//PB， ∴EH⊥底面ABC…………8分
过H作HO⊥MB于O，由三垂线定理，EO⊥MB
则∠EOH为平面BEF与底面ABC所成二面角的平面角…………9分
在
，在
…………10分
…………11分
即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为
…………12分
若利用面积射影法，指出△HDB是△EFB在底面ABC上的射影，并计算出其面积
…………7分 计算出
…………10分
…………11分
即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为
…………12分
20．解①已知向量
若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，………………2分
…………5分 故知
……7分
∴实数
时，满足的条件…………8分
（若根据点A、B、C能构成三角形，必须AB+BC＞CA…相应给分）
②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则
，
…………10分 解得
…………12分
21．解（1）∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数
，
，即
恒成立……1分
…………2分 
，
时，取极小值
，解得
…4分
（2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立.…………5分
假设图象上存在两点
、
，使得过此两点处的切线互相垂直，
则由
知两点处的切线斜率分别为
，
且
…………（*）…………7分
、
，
此与（*）相矛盾，故假设不成立.………………8分
证明（3）
，
或
，
上是减函数，且
……10分
∴在[－1，1]上，
时，
.…………12分
22．解（1）由
…………1分
又
………3分
，故所求的轨迹方程是
……5分
（2）设
、
，把
整理得
分
(3) 设、，把
，得
…11分
∵A、B在y轴的同一侧，
，得到
…………13分
综上，得
.…………14分