江西省高中数学青年教师业务能力竞赛（解题）试题
[命 题：张园和]
本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题纸一并交回．
第I卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1．答第I卷前，参赛选手务必在试卷及答题纸上将自己的单位、姓名、准考证号填在指定的位置．
2．所有试题的答案均应填入答题纸上的相应位置, 不能答在试卷上。未填入答题纸的部分一律按零分计．
一、本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合
,则实数a的取值范围是
A．
B．
C．(－1,+∞) D．(－∞,－1)
2．若
都是实数，i是虚数单位，则
=
A．1+2i B．1－2 i C．2+ i D．2－i
3．已知
的值应是
A．
B．
C．
D．
4．若函数
的反函数为
,则满足
的x的集合是
A．(0,+∞) B．(1,+∞) C．(－1,1) D．(0, 1)
5．已知变量
满足约束条件
,则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
6．设随机变量
服从标准正态分布
，已知
，则
=
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
7．已知两个等差数列
和
的前
项和分别为A
和
，且
,则使得
为整数的正整数n的个数是
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知椭圆
有相同的准线,则动点P (n, m)的轨迹为
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．直线的一部分
9．半径为1的球面上的四点
是正四面体的顶点,则
与
两点间的球面距离为
A. 
B. 
C.
D. 
10．如图,设P为△ABC内一点,且
则
A．
B．
C．
D．
11．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中, 这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a−2b+10>0成立的事件发生的概率等于
A. 
B.
C.
D.
12．已知定义域为R上的函数
单调递增，如果
的值
A．可能为0 B．恒大于0 C．恒小于0 D．可正可负
第II卷 (共90分)
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸中的相应位置上．
13．在
的展开式中，x5的系数为
.
14．当
时,不等式
恒成立,则
的取值范围是 ．
15．若函数
= .
16．对于函数
, 存在一个正数
,使得
的定义域和值域相同, 则非零实数
的值为__________.
三、解答题：本大题共6小题,共74分. 解答应写出必要的文字说明, 演算步骤或证明过程．
|
是奇函数．
(1) 求
的值；
(2)若对任意的
, 不等式
恒成立, 求k的取值范围.
18．(本题满分12分) 在九江市教研室组织的一次优秀青年教师联谊活动中，有一个有奖竞猜的环节．主持人准备了A、B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获奖金1000元，答对问题B可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为
、
．
(1) 记先回答问题A的奖金为随机变量
, 则的取值分别是多少？
(2) 你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金?请说明理由．
19．(本小题满分12分) 已知函数
(
R,且
)的部分图象如图所示．
(1) 求
的值；
(2) 若方程
在
内有两个不同的解,求实数m的取值范围．
20．(本小题满分12分) 如图,在四棱锥
中,
底面
，
,
, 
是
的中点．
(1)证明
；
(2)证明
平面
；
(3)求二面角
的大小.
21．(本小题满分12分) 设不等式组 
表示的平面区域为
,区域内的动点
到直线
和直线
的距离之积为2, 记点的轨迹为曲线
. 是否存在过点
的直线l, 使之与曲线交于相异两点、,且以线段
为直径的圆与y轴相切？若存在,求出直线l的斜率;若不存在, 说明理由．
22．(本小题满分14分) 已知函数
及正整数数列
. 若
,且当
时,有
; 又
,
,且
对任意
恒成立. 数列
满足:
.
(1) 求数列
及
的通项公式;
(2) 求数列
的前
项和
；
(3) 证明存在
，使得
对任意均成立．
参考答案
命 题：张园和
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | C | B | A | A | C | D | A | C | A | D | C |
| 题号 | 13 | 14 | 15 | 16 | 备 注 | |||||||
| 答案 |
|
| 1 |
| ||||||||
题号
[1] 解: 画出数轴,由图可知
,选B.
[2] 解: 由
得
,所以
.
[3] 解: 
,故选B.
[4] 解: 因为
, 所以
,于是原不等式为
,解得
.
[5] 解: 画出可行域(图略),为一个三角形区域,顶点分别为
.
表示可行域内的点
与原点
连线的斜率,当
时取最大值6,当
时取最小值
.故选A.
[6] 解: 服从标准正态分布
，
[7] 解: 由等差数列的前项和及等差中项，可得
，
故
时，
为整数。故选D
[8] 解:由已知得: 
, 化简为
,轨迹为椭圆的一部分. 故选A.
[9] 解:半径为1的球面上的四点
是正四面体的顶点，设AB=a，P为△BCD的中心，O为球心，则OB=1，OP=，BP=
a，由
解得
，∴ 由余弦定理得∠AOB=arcos(－)，∴ 与两点间的球面距离为
，选C。
[10]
解: 设
. 则
. 所以
,解得
.于是
.
[11] 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个. 由不等式a−2b+10>0得2b<a+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b=6时，a可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种. 于是，所求事件的概率为
.
[12] 解: 由题设知,
的图象关于点
对称. 又由已知,
且
, 由在
时单调递增知,
.故选C.
[13]
解: 
.
[14]
解: 由题设得
,故只需求
.由单调性知,在
时, 
,所以
.
[15]
解: 易知为奇函数, 所以
.
[16]
解: 若
，对于正数
，的定义域为
，但的值域
，故
，不合要求.若
，对于正数，的定义域为
.由于此时
，故函数的值域
.由题意，有
，由于
，所以
.
17、解：(1)因为是奇函数, 所以
=0, 即
又由
知
(2) 解法一：由(1)知
, 易知在
上为减函
数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于
.因为减函数,由上式推得:
．
即对一切
有：
, 从而判别式
解法二：由(1)知
．又由题设条件得：
即： 
整理得: 
.上式对一切均成立, 从而判别式
18、解：(1) 题意，的取值可以为0元，1000元，3000元
(2) 设先答A的奖金为元,先答B的奖金为
元,则有
，
,
,所以
.
同理,
, 
,
.所以
.
故先答A,能使所获奖金期望较大.
19、解：(1) 由图象易知函数
的周期为
(
)=
，∴
．
又, 
且
, 即
, 解得: 
. 所以,
. [也可以按以下解释: 上述函数的图象可由
的图象沿
轴负方向平移
个单位而得到，∴其解析式为
．∴
]
(2)
∴
，∴
．设
，
问题等价于方程
在（0，1）仅有一根或有两个相等的根．
方法一：∵- m = 3t2 - t，t Î(0, 1). 作出曲线C：y = 3t2 - t，t Î(0, 1)与直线l：y = - m的图象．
∵t =
时，y =
；t = 0时，y = 0；t = 1时，y = 2．
∴当 - m =或0≤-m<2时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．
∴m的取值范围是：
或
方法二：当 仅有一根在(0, 1)时，令
则
得到
; 或
时
，或
时
（舍去）
当两个等根同在（0,1）内时得到
，
综上所述，m的取值范围是：或
20、解：(1)证明：在四棱锥中，因底面，
平面，故
．
，
平面
．而
平面，
．
(2) 证明：由
，
, 可得
．
是的中点，
．由(1)知，
，且
，所以
平面
．而
平面，
．
底面
在底面内的
射影是
，
，
．又
，
综上得
平面
．
(3) 解法一：过点作
，垂足为
，连结
．则由(2)知，平面，
在平面内的射影是，则
．因此
是二面角
的平面角．由已知，得
．设
，可得
．
在
中，
，
，则
．
在
中，
．所以二面角的大小是
．
解法二：由题设底面，
平面
，则平面
平面
，交线为．
过点作
，垂足为
，故
平面．过点作
，垂足为，连结
，故
．因此
是二面角的平面角．
由已知，可得，设，
可得
．
，
．
于是，
．
在
中，
．
所以二面角的大小是
．
21、解：由题意可知，平面区域如图阴影所示．设动点为
，则
，即
．
由
知
，x－y<0，即x2－y2<0．
所以y2－x2＝4(y＞0)，即曲线的方程为
－＝1(y＞0)
设
，
，则以线段
为直径的圆的圆心为
.
因为以线段为直径的圆
与
轴相切，所以半径 
，即
因为直线AB过点F(2，0)，当AB ^ x轴时，不合题意．所以设直线AB的方程为y＝k(x－2)．代入双曲线方程－＝1(y＞0)得:
k2(x－2)2－x2＝4，即
(k2－1)x2－4k2x＋(8k2－4)＝0．
因为直线与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．于是
x1＋x2＝，x1x2＝．
故 AB＝＝
＝＝x1＋x2＝，
化简得：k4＋2k2－1＝0
解得: k2＝－1 （k2＝－－1不合题意，舍去）．
由△＝(4k2)2－4(k2－1)(8k2－4)＝3k2－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－ ．
所以, k＝－
22、解：(1) 由
得：
.因为
是正整数列,所以
.于是是等比数列. 又,
, 所以
.
因为
,所以
,于是:
,说明
是以2为公比的等比数列. 所以
因为
, 由题设知： 
，解得：
。
又因为
且
，所以
。
于是
。
(2) 由得：
.由及
得：
设
①
②
当
时，①式减去②式, 得
于是, 
这时数列
的前项和
．
当
时，
．这时数列的前项和
．
(3) 证明：通过分析，推测数列
的第一项
最大，下面证明：
③
由
知
，要使③式成立，只要
，
因为
．
所以③式成立．
因此，存在
，使得
对任意
均成立．