湖南师大附中高三第六次月考试卷
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），试题满分150分，考试时量120分钟。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每小题给出的选项中只有一项是
符合题目要求的）
1．给出下列函数：①
，②
，③
，
④
，其中是偶函数的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若α、β终边关于y轴对称，则下列等式成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
|
B）是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
的单调递增区间是 （ ）
A．
B．
C．
D．
5．设等比数列
的前n项和为Sn，若
，则
（ ）
A．1:2 B．2:3 C．3:4 D．1:3
6．若
，则
的值是 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
7．在平面
内的两条直线
、
都平行于平面
是平面
的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．不充分也不必要条件
8．把
的反函数
图象向右平移2个单位就得到曲线C，函数
的图象与曲线
C关于
成轴对称，那么等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知点A为双曲线
的顶点，点B和点C在双曲线的同一分支上，且A与B在y轴的异侧，则正△ABC的面积是 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．设坐标原点为O，抛物线
与过其焦点的直线交于两点A、B，则
等于
（ ）
A．
B．
C．－3 D．3
11．记函数
在区间[－2，2]上的最大值为M，最小值为m，那么M+m的
值为 （ ）
A．0 B．3 C．6 D．8
12．13年前有一笔扶贫助学资金，每年的存款利息（年利率11.34%，不扣税）可以资助100
人上学，平均每人每月94.50元。现在（存款年利率1.98%，并且扣20%税）用同样一
笔资金每年的存款利息最多可以资助（ ）人上学（平均每人每月100元）.
A．10 B．13 C．15 D．20
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分，请把各题答案填在题中横线上）
13．已知复数z满足等式：
，则z=
.
14．某公司规定：一个工人在一个季度里如果有1个月完成任务，则可得奖金90元；如果
有2个月完成任务，则可得奖金210元；如果有3个月完成任务，则可得奖金330元；
如果3个月都未完成任务，则不得奖金。假如某工人每月能否完成任务是等可能的，则
这个在一个季度里所得奖金的数学期望是 。
15．某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派1人，
则这9个名额的分配方案共有 种.（用数字作答）
16．一直角梯形ABCD，AB⊥AD，AD⊥DC，AB=2，BC=
，CD=1，E为AD中点，沿
CE、BE把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使点A、D重合，则这三棱锥的
体积等于 .
三、解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）在人寿保险业中，要重视某一年龄的投保人的死亡率，经过随机抽
样统计，得到某城市一个投保人能活到75岁的概率为0.60，试问：
（1）3个投保人都能活到75岁的概率；
（2）3个投保人中只有1人能活到75岁的概率；
（3）3个投保人中至少有1人能活到75岁的概率.（结果精确到0.01）
18．（本小题满分12分）已知向量
.
①若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.
19．（本小题满分12分）已知三棱锥P—ABC中PB⊥底面ABC，
，
PB=BC=CA=a，E是PC的中点，点F在PA上，且3PF=FA.
（1）求证：平面PAC⊥PBC；
（2）求平面BEF与底面ABC所成角（用一个反三角函数值表示）.
|
20．（本小题满分12分）设是由正数组成的无穷数列，Sn是它的前n项之和，对任意自
然数
与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
（1）写出
；
（2）求数列的通项公式（要有推论过程）；
（3）记
.
21．（本小题满分12分）设函数
（a、b、c、d∈R）图象关于
原点对称，且x=1时，取极小值
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当
时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明
你的结论；
（3）若
时，求证：
.
22．（本小题满分14分）已知
（1）求点
的轨迹C的方程；
（2）若直线
与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的同一侧，求实
数k的取值范围.
（3）设曲线C与x轴的交点为M，若直线与曲线C交于A、B两点，是否
存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过点M？若有，求出k的值；若没有，写
出理由.
湖南师大附中高三第六次月考试卷
数学参考答案（理科）
一、选择题答案：
1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.B 7.B 8.A 9.C 10.B 11.C 12.B
二、填空题答案：
13．－1，－1－2i
14．153.75元 15．56 16．
三、解答题
17．（1）
（2）
（3）
18．解①已知向量
若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，………………2分
…………5分 故知
……7分
∴实数
时，满足的条件…………8分
（若根据点A、B、C能构成三角形，必须AB+BC＞CA…相应给分）
②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则
，
…………10分 解得
…………12分
19．（1）证明：∵PB⊥底面ABC，∴PB⊥AC…………1分，又∠BCA=90°
∴AC⊥平面PBC…………4分
又AC
平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBC…………5分
（2）解：设FE的延长线与AC的延长线交于M，连MB，
则MB为平面BEF与平面ABC的交线…………6分
在平面PCA中，由已知E是PC的中点，F是PA的四等分点，
…………7分
取BC的中点H，则EH//PB， ∴EH⊥底面ABC…………8分
过H作HO⊥MB于O，由三垂线定理，EO⊥MB
则∠EOH为平面BEF与底面ABC所成二面角的平面角…………9分
在
，在
…………10分
…………11分
即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为
…………12分
若利用面积射影法，指出△HDB是△EFB在底面ABC上的射影，并计算出其面积
…………7分 计算出
…………10分
…………11分
即平面BEF与底面ABC所成二面角的大小为
…………12分
20．解（1）根据已知，
，
∴当n=1时，
…………1分
当n=2时，
…………2分
当n=3时，
分别等于2，6，10…………3分
（2）
…………4分
…………6分，由（1）
，
是以2为首项，4为公差的等差数列，
∴数列的通项公式
…………8分
若用数学归纳法相应给分
（3）令
…………10分
……12分
21．解（1）∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数
，
，即
恒成立……1分
…………2分 
，
时，取极小值
，解得
…4分
（2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立.…………5分
假设图象上存在两点
、
，使得过此两点处的切线互相垂直，
则由
知两点处的切线斜率分别为
，
且
…………（*）…………7分
、
，
此与（*）相矛盾，故假设不成立.………………8分
证明（3）
，
或
，
上是减函数，且
……10分
∴在[－1，1]上，
时，
.…………12分
22．解（1）由
…………1分
又
………2分
，故所求的轨迹方程是
……4分
（2）设、，把
，得
……6分
∵A、B在y轴的同一侧，
，得到
…………7分
综上，得
.…………8分
（3）由（2）得
…………① 
…………②
……③………………9分
∵曲线C与x轴交点
、
，若存在实数k，符合题意，则
不妨取点
……11分
将①②③式代入上式,整理得到
,解得
舍去）……13分
根据曲线的对称性，知存在实数
，使得以AB为直径的圆恰好过M点…14分