江都市仙城中学高三年级月考
数学试卷
参考公式:
三角函数的和差化积公式
若事件A在一次试验中发生的概率是P,则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
一组数据
的方差
+
+…+
]
其中
为这组数据的平均数
一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.设
={（
）
=3},
={()
=1},满足C
A∩B的集合
的个数是
A.0 B.1 C.2 D.4
2.抛物线
的焦点坐标是
A.
B.
C.
D.
3.设等比数列
的前n项和为Sn，若
，则
txjy
A．1:2 B．2:3 C．3:4 D．1:3
4.若P: 
,Q: 
,则P 是Q的
A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D.即不充分也不必要条件
5.函数
的图象相邻的两条对称轴之间的距离是
A. 
B. 
C. 
D.
6.下列命题中正确的是
A．若直线
∥平面M，则直线的垂线必平行于平面M；
B．若直线与平面M相交，则有且只有一个平面经过
且与平面M垂直；
C．若直线
平面M，
相交，且直线⊥
，⊥
，则⊥M；
D．若直线∥平面M，直线⊥，则⊥M．
7.已知
展开式中常数项为1120，其中实数是常数，则展开式中各项系数的和为
A．
B．1或
C． D．1或
8.已知函数
是偶函数，则一定是函数
图象的对称轴的直线是
A. 
B.
C. 
D.
9.如图，正方形
的顶点
，
，顶点
位于第一象限，直线
将正方形分成两部分，记位于直线左侧阴影部分的面积为
，则函数
的图象大致是
10．已知直线l:Ax+By+C=0(A、B不全为0)及两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,若（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）>0，且Ax1+By1+C> Ax2+By2+C,则
A.直线l与直线P1P2不相交 B. 直线l与线段P2 P1的延长线相交
C.直线l与线段P1 P2的延长线相交 D. 直线l与线段P1P2相交
11.已知等差数列
的前
项的和为
，且
，
，则过点
和
的直线的一个方向向量的坐标是
A、
B、
C、
D、
12.已知A、B、C三点共线，O是这条直线外一点，设
且存在实数m，使
0成立，则点A分
的比为
A. 
B. 
C. 
D. 
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，满分24分。
13.某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为_______
14．已知
，则
的值为_____________
15.已知函数
=则
.
16.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边。若∠B ＝
，b=2
,c=2，则∠A＝
.
17.已知椭圆
与双曲线
在第一象限内的交点为
，则点到椭圆右焦点的距离等于______
18.若函数
的图象与直线
有且仅有四个不同的交点，则
的取值范围是__________
三、本大题共5小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(19)（本小题满分12分，每小问满分4分）
已知某地区人口数量较大，经检测有5％的男人、1％的女人是色盲，假设该地区男女各占一半。
（1）随机挑选一人，求此人恰是色盲的概率；
（2）随机挑选三人，恰有两人恰是色盲的概率。
（3）该地区有一所中学，男生200人、女生100人，现从中任意抽取男生、女生各5名进行体检，发现色盲的概率有多大？（用算式表示即可）。
17．（本题满分14分）如图，四棱锥P －ABCD的底面是矩形，侧面PAD是
正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E 为侧棱PD的中点。
（1）求证：直线PB与平面EAC的关系；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）若AD = AB，试求二面角A－PC－D的正切值；
（4）当
为何值时，PB⊥AC ？
(21) （本小题满分14分，第一小问满分6分，第二小问满分8分）
已知函数
（Ⅰ）若函数在区间（－∞，+∞）上为单调函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设A(x1,
)、B(x2, 
)是函数的两个极值点，若直线AB的斜率不小于
，求实数a的取值范围。
19．（本小题满分14分）
已知函数
，
（1）若函数的图象在点
处的切线与直线
平行，函数 在
处取得极值，求函数的解析式，并确定函数的单调递减区间；
（2）若
，且函数在
上是减函数，求的取值范围。（浙理）
22．（本题满分14分）已知点A（－2，0）、B（2，0），动点C在x轴上的射影为点D，且满足
（1）求动点C的轨迹E的方程；
（2）若P、Q为轨迹E上的不同两点，且满足PA⊥QA ，试问直线PQ是否恒过一个定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理由。
23．（本题满分14分）已知曲线
，过上的点
作曲线的切线
交
轴于点
，再过点作
轴的平行线交曲线于点
，再过点作曲线的切线
交轴于点
，再过点作轴的平行线交曲线于点
，……，依次作下去，记点
的横坐标为
（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：
（3）求证：
参考答案
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | D | C | A | C | C | B | A | C | C | B | A |
二、填空题
13、188 14、
15、
16、
或
17、8 18、［1，
三、解答题
19．（1）0.03 （2）0.002619 （3）1－
20. 解：（1）PB//平面EAC。 2分；（2）
正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，
，
又
，所以，AE⊥平面PCD。 6分
（3）在PC上取点M使得
。
由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以
连接
，因为AE⊥平面PCD，所以，
。
所以，
为二面角A－PC－D的平面角。
在
中，
。
即二面角A－PC－D的正切值为
。 10分
（4）设N为AD中点，连接PN，则
。
又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD。
所以，NB为PB在面ABCD上的射影。
要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC
在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x
则
，
解之得：
。
所以，当
时，PB⊥AC。 14分
证法二：（按解法一相应步骤给分）
设N为AD中点，Q为BC中点，则因为
PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，，
，又因为侧面PAD⊥底面ABCD，所以，
，
，
以N为坐标原点，NA、NQ、NP所在直线分别为
轴如图建立空间直角坐标系。设
，
，则
，
，
，
，
，
。
（2）
，
，
，
，
所以，
。
又
，
，所以，AE⊥平面PCD。 6分
（3）当时，由（2）可知：是平面PDC的法向量；
设平面PAC的法向量为
，则
，
，即
，取，可得：
。所以，
。
向量
与
所成角
的余弦值为：
。
所以，tan q = 。
又由图可知，二面角A－PC－D的平面角为锐角，所以，二面角A－PC－D的平面角就是向量与所成角的补角。其正切值等于。 10分
（4）
，
，令
，得
，所以，
。所以，当时，PB⊥AC。 14分
21. （Ⅰ）因为函数在（－∞，+∞）上为单调递增函数，
所以
在（－∞，+∞）上恒成立。
由△=
，解得0<a<4 …………………………………………4分
又当a=0时，
（－∞，+∞）上为单调递增函数，
又当a=4时，
在（－∞，+∞）上为单调递增函数，所以0≤a≤4
…………………………………………6分
（Ⅱ）依题意，方程
=0有两个不同的实数根x1,、x2，
由△=
，解得a<0，或a>4,且x1＋x2=－a，x1x2= a …………………8分
所以
，
所以
=
. ………………………………12分
解之得－1≤a≤5, 所以实数a的取值范围是－1≤a<0,或4<a≤5. ……………14分
22.
23. 解（1）
曲线在点
处的切线
的斜率是
，
切线的方程是
，由于点
的横坐标等于点
的横坐标
，所以，令
，
得
，数列是首项为1，公比为
的等比数列，
（2）
，
，令
，则
当
，即
时，
有最大值1，即
（3）
，
，即
，
数列
是首项为1，公比为4的等比数列
