|
湖北省 八校联考
三月高三第二次联考数学试题（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分. 考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共60分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）.
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）.
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=C
Pk(1－P)n－k
球的表面积公式
S=4
其中R表示球的半径
球的体积公式
V=
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1． 计算
（ ）
A．2 B．－2 C．2
D．－2
2．将抛物线
沿向量
平移得到抛物线
则向量
为 （ ）
A．（－1，2） B．（1，－2） C．（－4，2） D．（4，－2）
3．从2004年名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样
从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行. 则每人入选的概率（ ）
A．不全相等 B．均不相等
C．都相等，且为
D．都相等，且为
4．计算
（ ）
A．0 B．
C．1 D．不存在
5．设
、
表示两条直线，
、
表示两个平面，下列命题中真命题是 （ ）
A．若
，则
B．若
C．若
D．若
6．下列四个函数：①
②
③
④
其中是偶函数，
又在区间（－1，1）内连续的函数的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等
于 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．在
的展开式中
系数等于 （ ）
|
B．
C．2
D．2
9．已知
，集合
，若
，则实数
的
取值范围是 （ ）
A．（2，+∞） B．（0，1）
C．（0，1）
D．（0，1）
10．实数
、
满足不等式组
的取值范围是 （ ）
A．[－1，
B．
C．[－
D．[－
11．若函数
的图象关于点M（
对称，且在
处
函数有最小值. 则
的一个可能的取值是 （ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
12．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站
在一起，则不同的站法有 （ ）
A．240种 B．192种 C．96种 D．48种
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在题中横线上.
13．若a、b、c、d均为实数，使不等式
和
都成立的一组值（a，b，c，d）
是 .（只要写出适合条件的一组值即可）
14．正四棱锥P—ABCD的五个顶点在同一球面上，若正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为
2
，则此球的表面积为
.
15．已知动圆P与定圆C：
=1相外切，又与定值线L：
相切，那么动圆
的圆心P的轨迹方程是 .
16．如图，第
个图形是由正
边形“扩展”而来，（
则第
个图形中
共有 个顶点.
|
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知复数
的摸
、
求
的值.
18．（本小题满分12分）
|
BC1.
（1）求证：GE//侧面AA1B1B；
（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小.
19．（本小题满分12分）
数列{
}的前项和
满足：
（1）求数列{}的通项公式；
（2）数列{}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的
项；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分12分）
某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图.（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为
，路段CD发生堵车事件的概率为
（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；
|
，求的数学期望
21．（本小题满分14分）
（1）在双曲线
上任取不同三点A、B、C，证明△ABC的垂心H也在该双曲线上.
（2）若A、B是双曲线在第一象限内的一支上的两点，且AB=2. 求线段AB的中点
M的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，求点M（
）的横、纵坐标之积
的取值范围.
|
22．（本小题满分12分）
已知函数
（1）函数
在区间（0，+
）上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（2）若当
时，
恒成立，求正整数
的最大值.
2004年三月高三第二次联考
数学（理科）参考答案及评分细则
一、AACBC CBBCD DB
二、13．（2，1，－3，－2）（只要写出的一组值适合条件即可）
14．36
15．
16．
三、17．解：依题意有（
……3′
……6′
……12′
18．解法1：（1）延长B1E交BC于F，
∽△FEB，BE=
EC1
∴BF=B1C1=BC，从而F为BC的中点.……2′
∵G为△ABC的重心，∴A、G、F三点共线.
且
，又GE
侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B……6′
（2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，
∴B1H⊥底面ABC. 又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，
∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=
在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，
连B1T. 由三垂线定理有B1T⊥AF，又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，
∴∠B1TH为所求二面角的平面角.……9′
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AH
，
在Rt△B1HT中，
，从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的大小为
……12′
解法2：
（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，∴∠A1AB=60°，
又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC. 以O为原点建立空间直角坐标系
O—
如图. 则A（0，－1，0），B（0，1，0），C（
，0，0），A1（0，0，），
B1（0，2，），C1（，1，）. ……3 ′
∵G为△ABC的重心，∴G（
，0，0），
∴E（
，1，
） ∴
又GE侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B……6′
（2）设平面B1GE的法向量为
则由
可取
……8′ 又底面ABC的法向量为
…9′
设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为
，
则
……12′
19．解：（1）当
时有：
两式相减得：
……3′
∴数列{
}是首项6，公比为2的等比数列.
从而
另解：归纳猜想再用数学归纳法证，过
程略，请相应给分.
（2）假设数列{}中存在三项
，它们可以构成等差数列，
只能是
，
即
……9′ 
、
、
均为正整数，
∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立. 因此数列{}中不存在可以构成等差
数列的三项.……12′
20．解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN.
因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所
以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为
1－P（
=1－[1－P（AC）][1－P（CD）][1－P（DB）]
=1－
；……2′
同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P（
…3′路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P（
……4′
显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小.只可能在以上三条路线中选择.
因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小.……6′
（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3.
答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为
21．解（1）（方法1）在双曲线上任取不同三点
、
、
设
△ABC的垂心H为
.由
，
及
得：
…………①………………2′
同理由
…………②…………3′
由①、②解得：
.
H点的坐标适合方程，
的垂心H也该双曲线上.…………5′
（方法2）求出两条高线方程，解出H坐标，仿上给分.
（2）设
、
，
由已知有：
；……③ 
；……④
……⑤……8′ 由③④得：
……⑥
由③⑥代入⑤整理得：
为所求点M的轨迹方程…10′
（3）由（2）知：
；……⑦
……12′
又
（当且仅当
时取等号）
的取值范围是
……14′
22．解：（1）
……3′
.
因此函数在区间（0，+∞）上是减函数.……5′
（2）（方法1）当时，恒成立，令有
又为正整数. 
的最大值不大于3.……7′
下面证明当
恒成立.
即证当
时，
恒成立.……9′
令
当
取得最小值
时，
恒成立.
因此正整数的最大值为3.……12′
（2）（方法2）当时，
恒成立，
即
恒成立.
即
的最小值大于
上连续递增，
又
存在唯一实根，且满足：
由
知：
的最小值为
因此正整数的最大值为3.……12′