2006年上海市普通高等学校春季招生考试
数学试卷
txjy
一. 填空题（本大题满分48分）
1. 计算：
. txjy
2. 方程
的解
.
3. 函数
的反函数
.
4. 不等式
的解集是
. txjy
5. 已知圆
和直线
. 若圆
与直线
没有公共 点，则
的取值范围是
. txjy
6. 已知函数
是定义在
上的偶函数. 当
时，
，则 当
时，
. txjy
7. 电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首 尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.
8. 正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 . txjy
9. 在△
中，已知
，三角形面积为12，则
.
10. 若向量
的夹角为
，
，则
.
11. 已知直线过点
，且与
轴、
轴的正半轴分别交于
两点，
为坐标原 点，则三角形
面积的最小值为 .
12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低； 反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列
满足
，则
（结论用数学式子表示）.
二．选择题（本大题满分16分）
13. 抛物线
的焦点坐标为
（A）
. （B）
. （C）
. （D）
.
14. 若
，则下列不等式成立的是
（A）
. （B）
. （C）
.（D）
.
15. 若
，则“
”是“方程
表示双曲线”的
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.
（C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.
16. 若集合
，则A∩B等于( )
（A）
. （B）
. （C）
.
（D）
.
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. (本题满分12分)
在长方体
中，已知
，求异面直线
与
所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
18. (本题满分12分)
已知复数
满足
为虚数单位），
，求一个以
为根的实系数一元二次方程.
19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
已知函数
.
（1）若
，求函数的值；
（2）求函数的值域.
20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、
为顶点的抛物线的实线部分，降落点为
. 观测点
同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
设函数
.
（1）在区间
上画出函数的图像；
（2）设集合
. 试判断集合
和
之间的关系，并给出证明；
（3）当
时，求证：在区间
上，
的图像位于函数图像的上方.
22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分.
已知数列
，其中
是首项为1，公差为1的等差数列；
是公差为
的等差数列；
是公差为
的等差数列（
）.
（1）若
，求；
（2）试写出
关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得
是公差为
的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
2006年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷
参考答案及评分标准
一．（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
1. 
.
2. 2. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
. 7.
48. 8.
.
9. 
. 10.
2. 11. 4.
12. 
和
二．（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.
| 题 号 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 代 号 | B | C | A | B |
三．（第17至22题）
17. [解法一] 连接
，
为异面直线与所成的角.
……4分
连接
，在△
中，
，
……6分
则
.
……10分
异面直线与所成角的大小为
.
……12分
[解法二] 以
为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
……2分
则 
，
得 
.
……6分
设
与
的夹角为
，
则
， ……10分
与的夹角大小为，
即异面直线与所成角的大小为.
……12分
18. [解法一] 
，
……4分
.
……8分
若实系数一元二次方程有虚根
，则必有共轭虚根
.
，
所求的一个一元二次方程可以是
.
……12分
[解法二] 设
，
得 
，
……4分
以下解法同[解法一].
19. [解]（1）
，
……2分
……4分
.
……8分
（2）
，
……10分
， 
， 
，
函数的值域为
.
……14分
20. [解]（1）设曲线方程为
， 由题意可知，
. 
.
……4分
曲线方程为
.
……6分
（2）设变轨点为
，根据题意可知
得 
，
或
（不合题意，舍去）.
.
……9分
得 
或
（不合题意，舍去）. 
点的坐标为
，
……11分
.
答：当观测点测得
距离分别为
时，应向航天器发出变轨指令.
……14分
21. [解]（1）
……4分
（2）方程
的解分别是
和
，由于在
和
上单调递减，在
和
上单调递增，因此
.
……8分
由于
.
……10分
（3）[解法一] 当
时，
.
，
……12分
. 又
，
①
当
，即
时，取
，
.
，
则
.
……14分
②
当
，即
时，取
， ＝
.
由 ①、②可知，当时，
，.
因此，在区间上，
的图像位于函数图像的上方. ……16分
[解法二] 当时，.
由
得
，
令 
，解得 
或
，
……12分
在区间上，当时，
的图像与函数的图像只交于一点
； 当时，
的图像与函数的图像没有交点. ……14分
如图可知，由于直线过点
，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
……16分
22. [解]（1）
.
…… 4分
（2）
，
…… 8分
，
当
时，
.
…… 12分
（3）所给数列可推广为无穷数列
，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当
时，数列
是公差为
的等差数列. …… 14分
研究的问题可以是：试写出
关于的关系式，并求的取值范围.…… 16分
研究的结论可以是：由
，
依次类推可得 
当
时，
的取值范围为
等.
…… 18分